Question

Questão de logaritimo 100 pontos
(FGV-SP) A, B e C são inteiros positivod, tais que :
a \times log_{200}(5) + b \times log_{200}(2) = ca×log
​200
​​ (5)+b×log
​200
​​ (2)=c
Em tais condições, A + B + C = ?
\begin{lgathered}a)0 \\ b)c \\ c)2 \times c \\ d)4 \times c \\ e)6 \times c\end{lgathered}
​a)0
​b)c
​c)2×c
​d)4×c
​e)6×c
​​

Answer 1

Vamos lá...

$A\log_{200}5+B\log_{200}2=C \\ \\ \log_{200}5^A+\log_{200}2^B=C \\ \\ \log_{200}(5^A.2^B)=C \\ \\ 200^C=5^{A} . 2^{B}$ 

fatorando 200=2³.5²

$5^{A} . 2^{B} =(2^3.5^2)^C \\ \\ 5^{A} . 2^{B} =2^{3C}.5^{2C } \\ \\ 5^{A} =5^{2C} \\ \\ A=2C \\ \\ 2^B=2^{3C} \\ \\ B=3C \\ \\ A+B+C=2C+3C+C=6C Letra~~E$