Question

Para calcular alguns limites, os argumentos podem ser desenvolvidos usando algumas desigualdes válidas para todo real X>0. A partir desses argumentos, conforme a figura a baixo, calcule o Valor de L.

Answer 1

Nem é dificil, o cara já te deu a desigualdade, tu nem teve que pensar nela (mesmo achando ela errada aqui, você vai ver a explicação do porque), mas vamos pensar mesmo assim... A pergunta é: Para qual dominio a função  $L = \lim_{n \to +\infty} \frac{senx}{x}$ existe? 

Nós sabemos que o dominio do seno é [-1,1], então já temos uma delimitação do dominio, mas qual o dominio de $\frac{1}{x}$? Ele só existe para x ≠ 0, pois não existe divisão por 0, correto? 

Então, por isso a delimitação do seu dominio (e consequentemente da sua desigualdade) é ]0, 1]. 

Porém no seu problema ai, ele diz que o "0" faz parte do dominio, eu discordo, mas vai saber ne...

Vamos lá:

Temos uma desigualdade, o que vamos fazer com isso? Sentar e chorar? Não, vamos aplicar o limite em toda a desigualdade:

Ou seja:

$0 \leq | \frac{senx}{x} \leq \frac{1}{x} \\ \\ aplicando \\ \\ \lim_{n \to +\infty} 0 \leq \lim_{n \to +\infty} \frac{senx}{x} \leq \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{x}$

Bem, agora ficou facil... Qual o limite de uma constante (no caso 0)? É zero; Qual o limite de "1" sobre "x", quando "x" vai para o maior numero possivel? É zero.

Então, pelo teorema do confronto:

$se \\ \\\lim_{n \to k} a \leq \lim_{n k} c \leq \lim_{n \to k} b \\ \\ e \\ \\ \lim_{n \to k} a = d \\ \\ \lim_{n \to k} b = d \\ \\ entao \\ \\ \lim_{n \to k} c = d$

Logo: 

$\lim_{n \to +\infty} 0 = 0 \\ \\ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{x} =0 \\ \\ e \\ \\ \lim_{n \to +\infty} 0 \leq \lim_{n \to +\infty} \frac{senx}{x} \leq \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{x} \\ \\ entao \\ \\ 0 \leq \lim_{n \to +\infty} \frac{senx}{x} \leq 0 \\ \\ L=\lim_{n \to +\infty} \frac{senx}{x}=0$