Question

2. Seja f(x) = |2x²– 1|, x ϵ R. Determine os valores de x para os quais f(x) = 3.

Answer 1

Vamos resolver esse módulo: $f(x) = |2x^{2}-1|$. Quando você está trabalhando com módulo, deve sempre fazer duas inequações, uma quando o f(x) é menor que a expressão e outra quando ele é maior, ou seja: 

Observe que nosso F(x) = 3.
$f(x) = |2x^{2}-1| \\ \\ entao \\ \\ 2x^{2}-1 \leq 3 \\ \\ 2x^{2}-1 \geq 3$

Quando obtemos as duas equações, podemos retirar o módulo dela, entendeu? 

Agora podemos resolver:

1) Na primeira inequação:

$2x^{2}-1 \leq 3 \\ \\ 2x^{2}\leq 3+1 \\ \\ 2x^{2}\leq 4 \\ \\ x^{2}\leq \frac{4}{2} \\ \\ x \leq \sqrt{2}$

Como essa resposta foi uma raiz, nos sabemos que uma raiz quadrada pode ser positiva(+) ou negativa(-), então, no que parece ser uma resposta é na verdade duas: 

$Onde\\ \\x \leq +\sqrt{2} \\ \\ e \\ \\ x \leq -\sqrt{2}$

2) Na segunda inequação: 

$2x^{2}-1 \geq 3 \\ \\ 2x^{2} \geq 3+1 \\ \\ x^{2} \geq \frac{4}{2} \\ \\ x \geq \sqrt{2}$ 

Como a resposta é raiz: 

$Logo\\ \\ x \geq +\sqrt{2} \\ \\ x \geq -\sqrt{2}$

E como você pode perceber, se substituirmos a raiz quadrada de 2, sendo ela a negativa ou a positiva, na equação principal temos a resposta que procurávamos:

$f(x) = |2x^{2}-1| \\ \\ f(x) = |2 (-\sqrt{2}) ^{2}-1| \\ \\ f(x)=2*2-1 \\ \\ f(x) = 3$