Question

Resolva:
Sabendo que senx+cosx=α

(α dado), calcule y= sen³x+ cos³x

Answer 1

$sen^3x+cos^3x=(senx+cosx)(sen^2x+cos^2x-senx.cosx)= \\ \\ \alpha(1-senx.cosx)$

Agora:

$senx+cosx=\alpha \rightarrow \alpha^2=(senx+cosx)^2 \\ \\ \alpha^2=sen^2x+2senxcosx+cos^2x \\ \\ 1+2senxcosx=\alpha^2 \\ \\ 2senxcosx=\alpha^2-1 \\ \\ senxcosx=\frac{\alpha^2-1}{2} \\ \\ -senxcosx=\frac{1-\alpha^2}{2}$

Finalmente:

$\boxed{sen^3x+cos^3x=\alpha(1-senxcosx)=\alpha \left (1+\frac{1-\alpha^2}{2} \right )=\alpha \left (\frac{3-\alpha^2}{2} \right)}$

Answer 2

sen³x+cos³x = (senx+cosx)(sen²x-senx*cosx +cos²x)
                   = α(1 - senx*cosx)

Temos que (senx +cosx)² = α²

(1 +2senx*cosx) = α²
senx*cosx = (α² - 1)/2

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y = sen³ + cos³ = α(1 - (α² - 1)/2)

Espero ter ajudado!!!!