Question

Dado o número complexo Z1 = 1 + i, Z2= -i e Z3 = Z1 × Z2, é correto afirmar que a forma trigonométrica do número complexo Z3 é:

Π = pi

a) 1( cos 7Π/4 + i*sen 7Π/4)
b) 2( cos Π/4 + i*sen Π/4)
c) 2( cos 5Π/4 + i*sen 5Π/4)
d) √2( cos 7Π/4 + i*sen 7Π/4)
e) √2( cos 3Π/4 + i*sen 3Π/4)

Precisava que alguém me ensinasse como resolver essa questão (passo a passo) e me indicasse qual a resposta certa.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Raul, que a resolução é simples, embora um pouco trabalhosa.
Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Temos as seguintes informações:

z₁ = 1 + i
z₂ = - i
z₃ = z₁*z₂ ----- substituindo-se z₁ e z₂ por suas representações complexas, teremos que:

z₃ = (1+i)*(-i) ----- efetuando este produto, ficaremos com:
z₃ = 1*(-i) + i*(-i) ----- desenvolvendo, teremos:
z₃ = - i - i² ------ agora note que i² = -1. Assim, substituindo, teremos:
z₃ = - i - (-1)
z₃ = - i + 1 ----- ou, colocando na forma z = a + bi, ficaremos com:
z₃ = 1 - i <--- Esta é a representação de z₃.

ii) Agora vamos ao que está sendo pedido, que é a forma trigonométrica de z₃.

Antes note que um complexo da forma z = a + bi tem o seu módulo calculado da seguinte forma:

|z| = √(a²+b²)

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então vamos calcular qual é o módulo de z₃ = 1 - i . Assim (veja que o coeficiente de "a" é "1" e o coeficiente de "b" é "-1"):

|z₃| = √(1² + (-1)²)
|z₃| = √(1 + 1)
|z₃| = √(2) <---- Este é o módulo do complexo z₃ = 1 - i.

iii) Agora vamos calcular qual é o argumento (α) do complexo z₃ = 1 - i.
Antes veja que um complexo da forma z = a + bi, com módulo igual a |z| tem o seu argumento encontrado assim:

cos(α) = a/|z|
e
sen(α) = b/|z|.

Assim, tendo, portanto as relações acima como parâmetro, então o argumento de z₃ = 1 - i, cujo módulo é igual a √(2) será dado assim:

cos(α) = 1/√(2) ----- racionalizando, ficaremos com:
cos(α) = 1*√(2)/√(2)*√(2)
cos(α) = √(2)/√(2*2)
cos(α) = √(2)/√(4) ------ como √(4) = 2, teremos:
cos(α) = √(2)/2 <---- Este é o valor de cos(α)

e

sen(α) = -1/√(2) ----- racionalizando, ficaremos com:
sen(α) = -1*√(2)/√(2)*√(2)
sen(α) = - √(2)/√(2*2)
sen(α) = - √(2)/√(4) ---- como √(4) = 2, teremos:
sen(α) = - √(2)/2 <--- Este é o valor de sen(α).⇅

Agora note: o cosseno é igual a "√(2)/2" e o seno é igual a "-√(2)/2", apenas no arco de 315º (ou 7π/4 radianos), pois cos(315º) = cos(360º-45º) = cos(45º) = √(2)/2; e sen(315º) = sen(360º-45º) = -sen(45º) = - √(2)/2

iv) Agora, finalmente, vamos pra forma trigonométrica de z₃ = 1 - i, cujo módulo é √(2) e cujo argumento é 315º (ou 7π/4 radianos),como já vimos anteriormente.
Antes veja que  um complexo da forma z = a + bi, com módulo igual a |z| e argumento igual a "α", tem a sua forma complexa dada do seguinte modo:

z = |z|*[cos(α) ± isen(α)]

Portanto, tendo a relação acima como parâmetro, então a forma trigonométrica de z₃ = 1 - i, cujo módulo é √(2) e cujo argumento é 7π/4, terá a sua forma trigonométrica dada da seguinte forma:

z₃ = √(2)*[cos(7π/4) + isen(7π/4)] <--- Esta é a resposta. Opção "d". Ou seja, esta é a forma trigonométrica do complexo z₃ = 1 - i.

É isso aí.
Deu pra entender bem todo o nosso passo a passo?

OK?
Adjemir.