Uma escola de ensino médio tem 250 alunos que estão matriculados na 1a, 2a ou 3a série. 32% dos alunos são homens e 40% dos homens estão na 1a série. 20% dos alunos matriculados estão na 3a série, sendo 10 alunos homens. Dentre os alunos da 2a série, o número de mulheres é igual ao número de homens. A tabela abaixo pode ser preenchida com as informações dadas: O valor de a é: (A) 10 (B) 48 (C) 92 (D) 102 (E) 120

Anexos:

Respostas

respondido por: Renrel

Olá.

Temos uma caso de podemos resolver como um sistemas de equações.

Como será necessário fazer cálculos com porcentagem, o modo a ser usado é o seguinte:

$\mathsf{n\%=\dfrac{n}{100}}$

Abaixo, transcrevo as proposições dados no enunciado, transformando-as em expressões logo em seguida.

- 32% dos alunos são homens:

$\mathsf{32\%\times250=d+e+f}$

- 40% dos homens estão na 1ª série:

$\mathsf{40\%\times(32\%\times250)=d}$

- 20% dos alunos matriculados estão na 3ª série, sendo 10 alunos homens:

$\mathsf{20\%\cdot250=c+10}\\\\\mathsf{f=10}$

- Dentre os alunos da 2ª série, o número de mulheres é igual ao número de homens:

$\mathsf{b=e}$

- A soma de todos os alunos é igual 250:

$\mathsf{(a+d)+(b+e)+(c+f)=250}$

Com base nisso que foi exposto, é possível criar um sistema de equações básicas para o desenvolvimento:

$\begin{cases}\mathsf{(a+d)+(b+e)+(c+f)=250}&\mathsf{1^{a}~eq.}\\ \mathsf{32\%\times250=d+e+f}&\mathsf{2^{a}~eq.}\\ \mathsf{20\%\cdot250=c+10}&\mathsf{3^{a}~eq.}\\ \mathsf{b=e}&\mathsf{4^{a}~eq.}\\\mathsf{40\%\times(32\%\times250)=d}&\mathsf{5^{a}~eq.}\end{cases}$

O primeiro passo é reorganizar a 1ª equação, de modo que seja possível inserir nela a segunda equação e logo depois o valor de outras incógnitas. Teremos:

$\mathsf{(a+d)+(b+e)+(c+f)=250}\\\\ \mathsf{(d+e+f)+a+b+c=250}$

Tendo feito isso, devemos calcular o valor da 2ª equação. Vamos aos cálculos.

$\mathsf{\dfrac{32}{100}\times25=d+e+f}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{32\times250}{100}=d+e+f}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{8.000}{100}=d+e+f}\\\\\\ \mathsf{80=d+e+f}$

Agora, é a vez de calcular a 3ª equação. Teremos:

$\mathsf{20\%\cdot250=c+10}\\\\ \mathsf{\dfrac{20}{100}\times250=c+10}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{20\times250}{100}-10=c}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{5.000}{100}-10=c}\\\\\\ \mathsf{50-10=c}\\\\ \mathsf{40=c}$

Agora, calcularei o valor da 5ª equação, onde usarei um valor obtido na 2ª. Teremos:

$\mathsf{40\%\times(32\%\times250)=d}\\\\ \mathsf{\dfrac{40}{100}\times(80)=d}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{40\times80}{100}=d}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{3.200}{100}=d}\\\\ \mathsf{32=d}$

Agora, tendo o valor de “d” e “f”, podemos descobrir o valor de “e” que é igual a "b" na 2ª equação. Vamos aos cálculos.

$\mathsf{d+e+f=80}\\\\ \mathsf{32+e+10=80}\\\\ \mathsf{42+e=80}\\\\ \mathsf{e=80-42}\\\\ \mathsf{e=38}$

Como “e = b”, temos todos os valores necessários, logo, podemos voltar para a 1ª equação trocando valores. Teremos:

$\mathsf{(d+e+f)+a+b+c=250}\\\\ \mathsf{(80)+a+38+40=250}\\\\ \mathsf{(80)+a+78=250}\\\\ \mathsf{a+158=250}\\\\ \mathsf{a=250-158}\\\\ \boxed{\mathsf{a=92}}$