Question

Seja $\mathsf{f:[a,b]\to\mathbb{R}}$ uma função contínua. Mostre que

$\mathsf{f\equiv0\,\,\,\,\,\Longleftrightarrow\,\,\,\,\,\displaystyle\int_{a}^{b}\big[f(x)\big]^{2}dx=0}$

Obs: A notação $\mathsf{f\equiv0}$ é para indicar que a função $\mathsf{f}$ é nula em todo o intervalo $\mathsf{[a,b]}$

Answer 1

Seja  f:  [a, b] ⟶ ℝ  uma função contínua. Mostre que

     f ≡ 0   ⟺   $\displaystyle\int_a^b$ [f(x)]² dx = 0.

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Observação:  Ao longo desta resposta, por conveniência de notação,  [f(x)]²  será denotado por  f²(x)  ou simplesmente por  f².

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    •  (i)  Mostrar que

     se  $f\equiv 0,$  então  $\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx=0.$


Sendo  f  identicamente nula no intervalo  [a, b],  segue diretamente que

     $\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx\\\\\\=\int_a^b 0^2\,dx\\\\\\=\int_a^b 0\,dx\\\\\\ =0\qquad\quad\square$


     •  (ii)  Mostrar que

     se  $\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx=0,$  então  $f\equiv 0.$


Suponha por absurdo que 

     $\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx=0$

e  exista algum ponto  x₀ ∈ [a, b],  tal que  f(x₀) ≠ 0.


Vamos analisar primeiramente o caso em que  x₀  está no interior do intervalo  [a, b],  isto é,  x₀ ∈ (a, b).


Como  f  é não-nula em  x₀, consequentemente,

     $f^2(x_0)>0.$


Como  f  é contínua em  [a, b],  então  f²  também é contínua (logo integrável) em  [a, b].


Pela definição de continuidade, dizer que  f²  é contínua significa afirmar que

     para todo  ε > 0,  existe um  δ > 0,  tal que

     se  x₀ − δ < x < x₀ + δ,  então  f²(x₀) − ε < f²(x) < f²(x₀) + ε.


Se a implicação acima vale para para todo  ε > 0,  então vale, em particular, para

     $\varepsilon=\dfrac{f^2(x_0)}{2}>0$


isto é,

     se  x₀ − δ < x < x₀ + δ,  então

           $f^2(x_0)-\dfrac{f^2(x_0)}{2}<f^2(x)<f^2(x_0)+\dfrac{f^2(x_0)}{2}\\\\\\ \dfrac{f^2(x_0)}{2}<f^2(x)<\dfrac{3f^2(x_0)}{2}$


Da 1ª desigualdade acima, tiramos que

     $f^2(x)>\dfrac{f^2(x_0)}{2}>0.$


Agora vamos avaliar a integral definida de  f²  no intervalo  I := (x₀ − δ, x₀ + δ). Com base na desigualdade acima, podemos aplicar uma das propriedades para a integral definida:

     $\displaystyle f^2(x)\ge \dfrac{f^2(x_0)}{2}\\\\\\ \Longrightarrow\quad \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} f^2(x)\,dx\ge \dfrac{f^2(x_0)}{2}\cdot [(x_0+\delta)-(x_0-\delta)]\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad\int_I f^2(x)\,dx\ge \dfrac{f^2(x_0)}{\diagup\!\!\!\! 2}\cdot \diagup\!\!\!\! 2\delta\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad\int_I f^2(x)\,dx\ge f^2(x_0)\cdot \delta>0$


Avaliemos agora a integral definida de  f²  sobre todo o intervalo  [a, b]:

Como  f²  é estritamente positiva, temos que  $\displaystyle\int_{[a,\,b]\setminus I}\, f^2(x)\,dx\ge 0.$  Logo,

     $\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx=\int_I f^2(x)\,dx+\int_{[a,\,b]\setminus I}\, f^2(x)\,dx\\\\\\ \Longrightarrow\quad\int_a^b f^2(x)\,dx\ge \int_I f^2(x)\,dx>0\qquad\textsf{(absurdo!)}$


pois supusemos no início que  $\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx=0.$


Então, devemos ter necessariamente

     $f(x)\equiv 0\qquad\quad \square$


Caso  x₀ = a  ou  x₀ = b  (extremos do intervalo de integração),  a demonstração do absurdo é análoga, bastando adequar as análises para uma vizinhança à direita de  x₀ = a  e uma vizinhança à esquerda de  x₀ = b.


Com isso,

     $\displaystyle f\equiv 0\quad\Longleftrightarrow \quad\int_a^b f^2(x)\,dx=0\qquad\quad\blacksquare$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)