Seja
uma função contínua. Mostre que
![\mathsf{f\equiv0\,\,\,\,\,\Longleftrightarrow\,\,\,\,\,\displaystyle\int_{a}^{b}\big[f(x)\big]^{2}dx=0} \mathsf{f\equiv0\,\,\,\,\,\Longleftrightarrow\,\,\,\,\,\displaystyle\int_{a}^{b}\big[f(x)\big]^{2}dx=0}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cmathsf%7Bf%5Cequiv0%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5CLongleftrightarrow%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5Cdisplaystyle%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%5Cbig%5Bf%28x%29%5Cbig%5D%5E%7B2%7Ddx%3D0%7D)
Obs: A notação
é para indicar que a função
é nula em todo o intervalo
Niiya:
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4
Seja f: [a, b] ⟶ ℝ uma função contínua. Mostre que
f ≡ 0 ⟺
—————
Observação: Ao longo desta resposta, por conveniência de notação, [f(x)]² será denotado por f²(x) ou simplesmente por f².
—————
• (i) Mostrar que
se
Sendo f identicamente nula no intervalo [a, b], segue diretamente que
• (ii) Mostrar que
se
Suponha por absurdo que
e exista algum ponto x₀ ∈ [a, b], tal que f(x₀) ≠ 0.
Vamos analisar primeiramente o caso em que x₀ está no interior do intervalo [a, b], isto é, x₀ ∈ (a, b).
Como f é não-nula em x₀, consequentemente,
Como f é contínua em [a, b], então f² também é contínua (logo integrável) em [a, b].
Pela definição de continuidade, dizer que f² é contínua significa afirmar que
para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que
se x₀ − δ < x < x₀ + δ, então f²(x₀) − ε < f²(x) < f²(x₀) + ε.
Se a implicação acima vale para para todo ε > 0, então vale, em particular, para
isto é,
se x₀ − δ < x < x₀ + δ, então
Da 1ª desigualdade acima, tiramos que
Agora vamos avaliar a integral definida de f² no intervalo I := (x₀ − δ, x₀ + δ). Com base na desigualdade acima, podemos aplicar uma das propriedades para a integral definida:
Avaliemos agora a integral definida de f² sobre todo o intervalo [a, b]:
Como f² é estritamente positiva, temos que
pois supusemos no início que
Então, devemos ter necessariamente
Caso x₀ = a ou x₀ = b (extremos do intervalo de integração), a demonstração do absurdo é análoga, bastando adequar as análises para uma vizinhança à direita de x₀ = a e uma vizinhança à esquerda de x₀ = b.
Com isso,
Dúvidas? Comente.
Bons estudos! :-)
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