Question

Que valor mais se aproxima do valor da média aritmética entre os números reais log 3, log 4, log 5, e log 6? Admita que log (3,6) é aproximadamente 0,6.

Answer 1

Media aritmética nada mais é que somar uma quantidade "n" de numeros "x" e dividir por "n";

Logo: $resposta=\frac{log3+log4+log5+log6}{4}$ 

Vamos fazer a soma separada e depois dividimos:

$soma=log3+log4+log5+log6$

Sabemos que, quando temos uma soma de logaritmos, nos temos uma multiplicação entre os valores deles, ou seja: $log_xa+log_xb=log_x(a*b)$

Então, aplicando ela temos:

$soma=log3+log4+log5+log6 \\ \\ soma=log(3*4*5*6) \\ \\ soma=log(360)$

Porem ele nos deu que o $log_36=0.6$, mas sabemos também que o 
$log10=1$, então vamos fazer aparecer o 10 e o 6:

$soma=log(360) \\ \\ soma=log(10*36) \\ \\ soma=log(10)+log(36)$

(Poderíamos ter achado isso la encima direto, mas ai tu talvez não pegasse a logica) 

Continuando: Vamos resolver o log 10 e o log 36: 

$soma=log(10)+log(36) \\ \\ soma= 1+log(6*6) \\ \\ soma=1+log(6)^{2} \\ \\soma=1+2*(log6)$

Ps: Lembre-se: $log_a(b^x)= x*log_ab$

Apareceu o log 6, mas não está na base 3 e sim na de 10, logo vamos mudar a base deles:

Propriedade: $log_ab= \frac{log_xb}{log_xa}$

$soma=1+log6+log6 \\ \\ soma=1+2*\frac{log_36}{log_310}$

Ok, mudamos a base, agora vamos substituir o valor que temos:

$soma=1+2*\frac{0.6}{log_310} \\ \\ soma=1+\frac{1.2}{log_310}$

Ok, mas agora nao sabemos o valor de: $log_310$, mas nos sabemos o valor de log 3 (Que é um dos primeiros que aprendemos, ele vale aproximadamente 0.4) e log 10, então vamos mudar para a base 10 de novo: 

$soma=1+\frac{1.2}{log_310} \\ \\ soma=1+\frac{1.2}{ \frac{log10}{log3}} \\ \\ simplificando \\ \\ soma=1+\frac{1.2*log 3}{ log10} \\ \\soma=1+\frac{1.2*log 3}{ 1} \\ \\ soma=1+1.2 * log 3 \\ \\ soma= 1+1.2*0.4 \\ \\ soma=1+048 \\ \\ soma=1.48$

Agora, tiramos a media, ou seja dividimos por 4:

$resposta= \frac{1.48}{4} \\ \\ resposta = 0.37$