Question

Fatore os trinômios quadrados perfeitos:a) a² + 2ab + b²b) x²— 2xy + y²c) 9a² + 30a + 25 d) 4x² — 12x>’ + 9y²e) t² + 2t + 1

Answer 1

Olá.

 

Essa questão trata de produtos notáveis, mais especificamente:

- quadrado da soma de dois termos;

- quadrado da diferença de dois termos.

 

Para fatorar um trinômio de quadrados perfeitos, fazendo com que volte ao seu modo de produto notável, primeiro temos de conhecer as formas dos produtos notáveis. Para isso, demonstro a forma algébrica de ambos os produtos notáveis abaixo.

 

- Quadrado da soma de dois termos.

 

$\mathsf{(a+b)^2=}\\\\ \mathsf{(a+b)\cdot(a+b)=}\\\\ \mathsf{(a^2+ab+ab+b^2)=}\\\\ \mathsf{a^2+2ab+b^2}$

 

- Quadrado da diferença de dois termos.

 

$\mathsf{(a-b)^2=}\\\\ \mathsf{(a-b)\cdot(a-b)=}\\\\ \mathsf{(a^2-ab-ab+b^2)=}\\\\ \mathsf{a^2-2ab+b^2}$

 

Levando em consideração ao que foi falado, vamos aos cálculos de cada caso.

 

a) Esse primeiro já é a forma exata do “quadrado da soma de dois termos”, logo, teremos:

 

$\mathsf{a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}$

 

b) Substituindo “a” por “x” e “b” por “y”, teremos uma cópia exata do “quadrado da diferença de dois termos”, logo, teremos:

 

$\mathsf{x^2-2xy+y^2=(x-y)^2}$

 

c) Para o cálculo dessa alternativa e da alternativa “d”, teremos fazer a raiz quadrada do primeiro e último termo para que voltem a seu modo primo. Vamos aos cálculos.

 

$\mathsf{(3a+5)^2=9a^2+30a+25}\\\\ \mathsf{(3a+5)^2=\sqrt{9a^2}+30a+\sqrt{25}}\\\\ \mathsf{(3a+5)^2=3a+30a+5}\\\\ \mathsf{(3a+5)^2=3a+\dfrac{30a}{3a\cdot5}+5}\\\\ \mathsf{(3a+5)^2=3a+2+5~\checkmark}$

 

Como o termo do meio se igualou a 2 ao ser dividido pelo primeiro e último termo, podemos ter certeza que está correto o produto notável (pois o termo do meio deveria ser formado por 2 vezes o 1° termo vezes o 3° termo).

 

d) Seguirei o mesmo modelo da questão anterior.

 

$\mathsf{(2x+3y)^2=4x^2-12xy+9y^2}\\\\ \mathsf{(2x+3y)^2=\sqrt{4x^2}+12xy+\sqrt{9y^2}}\\\\ \mathsf{(2x+3y)^2=2x+12xy+3y}\\\\ \mathsf{(2x+3y)^2=2x+\dfrac{12xy}{2x\cdot3y}+3y}\\\\ \mathsf{(2x+3y)^2=2x+2+3y~\checkmark}$

 

e) No caso dessa questão, temos um produto notável do tipo “quadrado da soma de dois termos”, mas a diferença é que no lugar de “a” está o “t” e no lugar de b está o “1”. Vamos aos cálculos.

 

$\mathsf{(t+1)^2=t^2+2t+1}$

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$

Answer 2

Olá. Todos esses exercícios são casos desenvolvidos do quadrado da soma  ou do quadrado da diferença de dois termos. Quando temos a soma ou a diferença de dois termos elevada ao quadrado, resolvemos da seguinte maneira: 

Passo 1: Extrair a raiz quadrada do primeiro termo;
Passo 2: Colocar o sinal de mais ou sinal de menos (copiar o sinal do termo do meio);
Passo 3: Extrair a raiz quadrada do segundo termo.

Vou fazer a letra A passo a passo, e o restante serei direto:

A)  a²  +  2ab  +  b²

O primeiro termo é o a².
O segundo termo é o 2ab.
O terceiro termo é o b².

Passo 1: A raiz quadrada de a² é a.
Passo 2: O sinal utilizado é +
Passo 3: A raiz quadrada de b² é b.

Assim, a resposta fatorada é (a + b)²

B) x²  -  2xy  +  y²

Resposta: (x - y)²

C) 9a² + 30a + 25

Resposta: (3a + 5)²

D) 4x²  -  12xy  +  9y²

Resposta: (2x  +  3y)²

E) t²  +  2t  + 1

Resposta: (t + 1)²