Question

06. Um relógio de pêndulo feito de Invar (α = 0,7.10-6 °C-1) tem um período de 0,5 s e é exato a 20°C. Se o relógio é usado num clima onde a temperatura é 30°C, que correção (aproximadamente) é necessário ao final de 30 dias para colocar o relógio novamente na hora certa?

Answer 1

Primeiro vamos calcular a dilatação linear do pêndulo:

     ΔL = L0 · α · ΔT


•  ΔL: dilatação linear

•  L0: comprimento inicial

•  α: coeficiente de dilatação linear

•  ΔT: variação da temperatura em graus Celsius



Logo, temos que:

     ΔL = L0 · 0,7 · 10^-6 · (30 − 20)

     ΔL = L0 · 0,7 · 10^-6 · 10

     ΔL = L0 · 7 · 10^-6


Sabemos que:

     Lf = L0 + ΔL


Substituindo ΔL, vem:

     Lf = L0 + L0 · 7 · 10^-6

     Lf = L0 · ( 1 + 7 · 10^-6)


__________



Agora, vamos ver como essa mudança irá influenciar na marcação do tempo. Para o período de uma oscilação, temos:

     T = 2π · √(L / g)


•  T: período de uma oscilação completa

•  L: comprimento do pêndulo

•  g: gravidade


Portanto, na situação inicial, temos:

     0,5 = 2π · √(L0 / g)


Observe que se multiplicarmos os dois lados da equação por √(1 + 7 · 10^-6), vem:

     0,5 · √(1 + 7 · 10^-6)  = 2π · √(L0 · (1+ 7 · 10^-6) / g)

     0,5 · √(1 + 7 · 10^-6)  = 2π · √Lf / g)


O novo período de oscilação do pêndulo o valor que se encontra do lado esquerdo da igualdade

     Tf = 0,5 · √(1 + 7 · 10^-6)

     Tf = 0,50000175 s


A cada duas oscilações completas o relógio marca um segundo. Para o relógio estar regulado o tempo das duas oscilações deve ser de um segundo também. Nessa situação temos que o tempo de duas oscilações é de:

     2Tf = 2 · 0,50000175

     2Tf = 1,0000035 s

     2Tf = (1 + 0,0000035)

     2Tf = (1 + 0,0000035)

     2Tf = (1 + 3,5 · 10^-6) s


Note que a cada segundo que se passa o relógio demora 3,5 · 10^-6 s a mais, ficando assim atrasado.


Em 30 dias temos em segundos:

     30 · 24 · 60 · 60 = 2592000 s


Logo o atraso do relógio será de:

     3,5 · 10^-6 · 2592000 = 9,072 s


Resposta: terá que adiantar aproximadamente 9 segundos.


Bons estudos! =)