Question

O valor de k para o qual a funçao y=x^2-5x+k admita minimo -1/4?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, January, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) Pede-se para determinar o valor de "k" para o qual a função abaixo admita um mínimo igual a "-1/4":

y = x² - 5x + k.

ii) Veja que toda equação quadrática tem o seu mínimo (ou máximo) dado pelo "y" do vértice (yv), cuja fórmula é esta:

yv = - (Δ)/4a ---- sendo Δ = b²-4ac. Assim, substituindo-se, teremos:
yv = - (b²-4ac)/4a

Note que os coeficientes da equação da sua questão (y = x² - 5x + k) tem os seguintes coeficientes:

a = 1 ---- (é o coeficiente de x²)
b = -5 ---- (é o coeficiente de x)
c = k ----- (é o coeficiente do termo independente).

Assim,  fazendo as devidas substituições na fórmula do "yv" acima, teremos:

yv = - ((-5)² - 4*1*k)/4*1 ---- desenvolvendo, temos:
yv = - (25 - 4k)/4 ---- mas note que já foi dado que yv = - 1/4. Então vamos substituir, ficando:

-1/4 = -(25 - 4k)/4 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
4*(-1/4) = - (25 - 4k) ---- efetuando o produto no 1º membro, teremos:
-4/4 = - (25 - 4k)
-1 = - (25 - 4k) ---- retirando-se os parênteses, ficaremos assim:
-1 = - 25 + 4k --- passando "-25" para o 1º membro, teremos:
- 1 + 25 = 4k ----- note que "-1+25 = 24". Logo:
24 = 4k --- vamos apenas inverter, ficando:
4k = 24 ---- isolando "k", teremos:
k = 24/4 ---- note que esta divisão dá exatamente igualo a "6". Logo:
k = 6 <--- Esta é a resposta. Ou seja, para que o mínimo da equação da sua questão dê igual a "-1/4" é necessário que "k" seja igual a "6".

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade vamos ver se quando k = 6 o mínimo será mesmo igual a "-1/4".
Vamos substituir o "k" por "6" na equação dada [ y = x²-5x+k] e depois calcularemos o seu "y" do vértice (yv) e veremos se ele dá igual a "-1/4".
A equação, então, ficaria escrita da seguinte forma, quando substituirmos o "k" por "6":

y = x² - 5x + 6 ---- agora vamos calcular o "y" do vértice, cuja fórmula é esta:

yv = - (b²-4ac)/4a ----- fazendo as devidas substituições, teremos:
yv = - ((-5)² - 4*1*6)/4*1
yv = - (25 - 24)/4 ---- como "25-24 = 1", teremos:
yv = - (1)/4 --- retirando-se os parênteses, ficaremos com:
yv = - 1/4 <--- Olha aí como é verdade. Ou seja, olha aí como se k = 6 o mínimo da função da sua questão é realmente igual a "-1/4".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.