Question

Pero e Paulo possuem quantias que, somadas, resultam em R$ 1.800,00. Pedro aplicou sua parte a juros simples de 20% ao ano durante 15 meses. Paulo aplicou sua parte a juros compostos de 20% ao ano durante 24 meses. Sabendo que a soma dos montantes obtidos por Pedro e Paulo, ao final dos períodos mencionados, é R$ 2.402,00, calcule as quantias que cada um deles possuía antes de fazer as aplicações.

Answer 1

Resolvemos este problema utilizando sistemas lineares. Vamos aplicar a fórmula de juros simples e juros compostos.

O juros simples é dado pela fórmula:
$J = C*i*t$

O juros composto é dado pela fórmula:
$S = C (1+i)^n$

Pedro aplicou juros simples por 15 meses com taxa de 20% ao ano, sendo X seu valor inicial:
$J = X*0,2*1,25 \\ J=0,25X$

Ele obteve 25% do valor que aplicou em juros.

Paulo aplicou juros compostos por 24 meses com taxa de 20% ao ano, sendo Y seu valor inicial:
$S = Y(1+0,2)^2 \\ S=1,44Y$

Ele obteve 144% do valor que aplicou em juros.


O enunciado diz que a quantia de Pedro e Paulo inicialmente era de R$1800,00 e que depois da aplicação, a quantia obtida total dos dois era de R$2402,00. Com esses dados, podemos montar um sistema linear:
$\left \{ {{X+Y=1800} \atop {1,25X+2,44Y = 2402}} \right.$

Pelo método da substituição, temos:
$X = 1800 - Y \\ \\ 1,25(1800-Y)+2,44Y=2402 \\  2250-1,25Y+2,44Y=2402 \\ 1,19Y=152\\ Y = R \ 127,73 \\ \\ X = 1800 - 127,73 \\ X=R \ 1672,27$

Pedro possuía inicialmente R$1672,27 e Paulo R$127,73