Question

Uma rede consiste de um número finito de nós conectados por segmentos orientados, chamados de ramos. O estudo do fluxo através de uma rede baseia-se no chamado “princípio da conservação de fluxo” que afirma: em cada nó, o fluxo de entrada é igual ao fluxo de saída. A figura descreve fluxos não negativos, medidos em litros por minuto, através de parte de uma rede de encanamento em que os nós estão representados pelos pontos A, B e C. Aplicando-se o princípio da conservação do fluxo, é possível obter-se um sistema de equações lineares S: Com base nessas informações e nos conhecimentos sobre matrizes e sistemas lineares, é correto afirmar: (01) O sistema S pode ser representado pela equação matricial XT = D, em que X = (x y z), D = (20 20 4) e T é a transposta da matriz M. (02) Se o terno ordenado (a, b, c) é solução do sistema S, então a = b - c. (04) Sendo k = 2 e I, a matriz identidade de ordem 3, o determinante da matriz M - k I é igual a 1. (08) A soma dos termos da segunda linha da matriz inversa de M é igual a -3. (16) É impossível inverter-se, na parte da rede representada na figura, apenas a orientação do fluxo indicado por 2y. (32) O menor fluxo através de um ramo da parte de rede, representada na figura, é de quatro litros por minuto.

Answer 1

Vamos analisar as afirmações:

1. Uma vez que X = (x y z) e D = (20 20 4)  transpostas do sistema, podemos escrever XT=D sendo T a transposta de M. Verdadeiro.

2. Não existe essa propriedade nas matrizes. Falso.

4. A matriz identidade é composta da diagonal principal com todos termos iguais a 1 e o restante dos termos iguais a zero. Multiplicamos por 2 e descontamos da matriz M. Sobra:

-1   0   1
2   -1   0
-2   2   -1

Calculando o determinante, chegamos em 1. Verdadeiro.

8. Os termos da segunda linha da matriz inversa são -2/7, 3/7 e 2/7. Portanto, a soma é igual a 3/7. Falso.

16. Não é possível inverter, pois os fluxos de entrada e saída ficariam diferentes. Falso.

32. O menor fluxo é de 4. Verdadeiro.

Portanto, a soma das alternativas corretas é: 37.