Question

Num anfiteatro há 500 cadeiras distribuídas por filas. Após a remodelação do anfiteatro, em cada fila foram colocadas 5 cadeiras à mais do que havia, por isso a quantidade de filas diminuiu em 5. Consequentemente a quantidade de lugares diminuiu em um décimo de lugares inicialmente.
Quantas filas existiam inicialmente no anfiteatro e de quantas cadeiras eram compostas?

Answer 1

Boa noite!

Então pode parecer difícil, mas é simples..

Vamos tentar montar um sistema para resolver isso, vamos lá!

Primeiramente pense que se depois de todas as mudanças a quantidade de cadeiras diminuiu 1 décimo.. Se eram 500, depois de tudo mudado foi para 450, pois 1 décimo é 10% ... Então 10% de 500 é 50 e 500 - 50 é 450..

Beleza, agora vou chamar de x a quantidade de cadeiras por fila, por fila! e y a quantidade de filas.. Então se eu pegar as filas e multiplicar pela quantidade de cadeiras que há em cada fila eu tenho o número total de cadeiras, então:

xy = 500. Ou seja a quantidade inicial sem mudanças é essa!

Agora nós temos que foram colocadas 5 cadeiras a mais do que havia, e com isso temos 5 filas a menos.. Assim foi para 450 cadeiras totais... Como escrevemos isso?

Se x são as cadeiras por fila e aumentou 5 então agora as novas cadeiras por filas são (x + 5)

Semelhantemente como as filas diminuíram, ficamos com (y - 5)

Agora se eu multiplicar isso eu tenho o número total de cadeiras que agora são 450..

(x + 5)*(y - 5) = 450
xy = 500

Pronto! Temos o nosso sistema!

Vou resolver pelo método de substituição..

Primeiro vou isolar uma variável..

xy = 500
y = (500÷x)

Agora vou substituir na outra equação:

$(x + 5) \times ((500 \div x) - 5) = 450$

Agora é só resolver!

MMC da fração no parêntese:

$(x + 5) \times ((500 - 5x) \div x) = 450$

Vou multiplicar agora o (x + 5) pelo outro termo, o denominador é 1 então continua x no denominador..

$(500x - 5 {x}^{2} + 2500 - 25x) \div x = 450$

Agora vou unir termos semelhantes:

$(475x - 5 {x}^{2} + 2500) \div x = 450$

Vou passar o x pro outro lado:

$475x - 5 {x}^{2} + 2500 = 450x$

Agora vou igualar a zero:

$25x - 5 {x}^{2} + 2500 = 0$

Organizar e agora temos uma equação do 2° grau:

$- 5 {x}^{2} + 25x + 2500 = 0$

Vou resolver por Bhaskara, mas antes perceba que eu posso dividir todos os termos por 5, então vou fazer isso:

$- {x}^{2} + 5x + 500 = 0$

Agora sim!

Delta:

${5}^{2} - 4 \times - 1 \times 500$
$25 + 2000$
$2025$

Agora o resto:

$( - 5 + \sqrt{2025} ) \div 2 \times - 1$
$(- 5 + 45) \div - 2$
$40 \div - 2$
$- 20$

Bom deu negativo, então elimine essa raiz pois não existem cadeiras negativas.. Haha

$( - 5 - \sqrt{2025} ) \div 2 \times - 1$
$( - 5 - 45) \div - 2$
$- 50 \div - 2$
$25$

Então temos 25 cadeiras por fila inicialmente.. Se são 500 cadeiras ao total, basta dividir 500 por 25 e vamos saber quantas filas existem e esse resultado é 20...

Portanto inicialmente temos 25 cadeiras por fila em 20 filas..

Espero ter ajudado!
Qualquer dúvida pode perguntar!
Deus abençoe!