Question

Teoria dos números. Critério de divisibilidade.
Seja  a  um natural fromado por no máximo dois algarismos, e b ∈ ℕ*. Considere o número natural n, tal que

     n = 100b + a

(a  é o número formado pelos dois últimos algarismos de n, e  b  é o número formado pelos algarismos restantes).


Nessas condições, justifique a proposição

     n  é divisível por  101  se, e somente se, a diferença  b − a  é divisível por  101.

Answer 1

n=100b+a=101b+a-b=101b-(b-a)

101b  é divisível por 101

e se b-a é divisível por 101 ==> n é divisível por 101

------------------------------------------------------------------------

Se b-a é divisível por 101

n=100b+a=101b+a-b=101b-(b-a)

b-a=101b - n , como 101b é divisível por 1001 ==> n é divisível por 101

Answer 2

Olá Lukyo. Provando a ida.


Se 101 | 100b + a, então 101 | b - a

Temos que:

101 | 100b + a

Some e subtraia b.

101 | 100b + a + (b - b)

101 | 101b + a - b

101 | a - b

100 | b - a

Como queríamos provar.

Provando a volta.

Se 101 | b - a, então 101 | 100b + a

Temos que.

101 | b - a

101 | a - b

Some 101b.

101 | a - b + 101b

101 | 100b + a

Concluindo o que queríamos provar.

Logo,

101 | 100b + a, se, e somente se, 101 | b - a.


Dúvidas ? Comente.