Question

explicação x2+4=0 Números complexos

Answer 1

Olá Amigou, sou Saulo e vou lhe ajudar!

Temos que resolver a equação abaixo com números complexos

$x^2+4=0$ 

OBS sobre a formula trigonometrica: 

$z^{n}=r^{n}(Cos(n \alpha )+isen(n \alpha ))$

Sendo que r= I Z I

Vamos então passar o 4 para o outro lado:

$x^2=-4$

Temos então que o modulo dessa equação complexa será :

$\sqrt{(-4)^2+0^2}= \sqrt{16} =4$

Como o modulo esta ao quadrado, o verdadeiro modulo e igual a 2:

Modulo de z= 2

Como temos -4 na parte real então temos o angulo de 180°

Então :
$2\alpha =180+360k$

Então o angulo é:

$\alpha =90+180k$

Usando o diagrama de números complexos(foto abaixo)

Vamos encontrar a primeira raiz que será

$Z_1=r(cos \alpha +isen \alpha )$

$Z_1=2(cos90+isen90)$

$z_1=2i$

Agora z2:

$Z_2=2(cos(90+180)+isen(90+180)$

$z_2=2(cos270+isen270)$

$z_2=-2i$

Então temos que as raizes desse numero são + ou - (2i)

De outro modo podemos resolver assim:

$x^2=-4$

$x= \sqrt{-4}$

$x= \sqrt{-1.4}$

$x= \sqrt{-1} . \sqrt{4}$

Sendo que raiz de -1 e igual a i:
$x= +/-2i$

Dos dois modos encontramos raizes iguais a mais ou menos 2i

Espero ter ajudado!