Question

Um inteiro é chamado formidável se ele pode ser escrito como uma soma de potências distintas de 4 e é dito bem sucedido se ele pode ser escrito como uma soma de duas potências distintas de 6 . O número de maneiras de escrevemos 2005 como a soma de um número formidável com um número bem sucedido é:

Answer 1

Primeiramente, vamos calcular todas as potências de 4 (números formidáveis) que podem ser escritas e são menores que 2005:

4° = 1

4¹ = 4

4² = 16

4³ = 64

4⁴ = 256

4⁵ = 1024

A próxima potência é maior que 2005, então não é útil no exercício.

Fazemos a mesma coisa para a potência de 6 (números bem sucedidos):

6° = 1

6¹ = 6

6² = 36

6³ = 216

6⁴ = 1296

A próxima potência de 6 é maior que 2005, então também não nos interessa.

Agora, precisamos somar um número formidável com um bem sucedido para chegar a 2005.

Para isso, automaticamente um dos números deverá ser 1, pois 2005 é um número ímpar e as potências são todas pares. Porém, dessa maneira, o outro número obrigatoriamente deve ser 2004, e não existe esse valor nos números formidáveis, nem nos números bem sucedidos.

Portanto, não existe nenhuma maneira de escrever 2005 como a soma desses números.