Question

Resolver a equaçao 1+7+...+x=280, sabendo-se que os termos do 1º membro formam uma P.A

Answer 1

Olá.

intuito dessa equação é encontrar um valor para x. O meio que parece-me mais viável, por não conhecer a quantidade de termos, é prolongar essa P.A até encontrar um valor cuja a soma é igual a 280. 

Os 10 primeiros termos dessa P.A, de razão 6 (pois 7 - 1 = 6), é:

P.A = {1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55}

Fazendo manipulações algébricas na fórmula da soma, podemos formar uma tentativa de equidade, onde é necessário substituir o valor de x para tentar valores de n. 

A fórmula da soma de termos de uma PA é:

$\mathsf{S_n=\dfrac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}}\\\\\\ \mathsf{280=\dfrac{n\left(1+x\right)}{2}}\\\\\\ \mathsf{280\cdot2=n\left(1+x\right)}\\\\ \mathsf{560=n\left(1+x\right)}\\\\ \mathsf{\dfrac{560}{1+x}=n}$

Substituindo x pelos termos da P.A que são maiores que 40 (para não perder tempo com números pequenos que não chegam perto de 180), temos que buscar um resultado inteiro para n.

$\mathsf{\dfrac{560}{1+x}=n}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{560}{1+43}=n}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{560}{44}=n}\\\\\\ \mathsf{12,\overline{727272}=n~X}\\\\\\ \\\mathsf{\dfrac{560}{1+49}=n}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{560}{50}=n}\\\\\\ \mathsf{11,2=n~X}\\\\\\ \\\mathsf{\dfrac{560}{1+55}=n}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{560}{56}=n}\\\\\\ \boxed{\mathsf{10=n~\checkmark}}$

55 é exatamente o 10° termo da P.A, que confirma que a resposta está correta.

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.
Bons estudos.