Question

log 2^x + log (1+2^x)=log6

Answer 1

Temos:

$\mathsf{log\,\,2^{x}+log\,\,(1+2^x)=log\,\,6}$

Temos as seguintes propriedades para Logaritmo:

$\mathsf{log_b(a)^{x}\,\,\,\,\,=\,\,\,\,\,x\,.\,log_{b}a}\\ \\ \\\mathsf{log_{b}a\,+\,log_{b}c\,\,\,\,\,=\,\,\,\,\,log_{b}(a\,.\,c)}$

Tendo isso em mente, faremos:

$\mathsf{log\,\,2^{x}(1+2^{x})=log\,\,6}\\ \\ \\ \mathsf{log\,\,(2^{x}+2^{2x})=log\,\,6}$

Como as bases dos Logaritmos são iguais em ambos os lados, basta igualar os logaritmandos:

$\mathsf{2^{x}+2^{2x}=6}\\ \\ \\ \mathsf{2^x+2^{2x}-6=0}$

Perceba que a partir daqui temos uma equação do segundo grau pois $\mathsf{2^{2x}=(2^{x})^{2}}$ o que nos deixa com:

$\mathsf{(2^{x})^{2}+2^{x}-6=0}\\ \\ \\ \text{Considera-se} \,\,\,\,\mathsf{2^{x}=t}\\ \\ \\ \mathsf{t^{2}+t-6=0}\\ \\ \\ \mathsf{(t+3)(t-2)=0}\,\,\,\,\,\to\,\,\,\, \boxed{\mathsf{t=-3\,\,\,\text{e}\,\,\,t=2}}$

Então:

$\mathsf{2^{x}=2\,\,\,\, \to\,\,\,\,\boxed{x=1}}$

________________________________________________________

$\mathsf{2^{x}=-3\,\,\, \to\,\,\, \{\nexists\,\,\,\, x \,\,\,\in\,\,\,R\}}$

Ficamos com $\boxed{\boxed{\mathsf{x=1}}}$

Answer 2

Resposta:

eu não consegui entender quando você faz log2^x( 1+ 2^x) resulta em log (2^x + 2^2x) não consegui aplicar a propriedade que resulta este valor, você pode me ajudar?

Explicação passo-a-passo: