Question

Seja C um cone circular reto de altura H e raio R. Qual a altura h, a medir a partir da base, tal que a razão entre os volumes do cone e do tronco de altura h do cone seja 2? (A) 2 (B) 2V2H. (C) 2

Answer 1

Sejam Vc, Vt e Vcp, respectivamente, os volumes do cone C, do tronco de cone de altura h e do cone de altura H – h (pois H é a altura do cone maior e h é a altura do "corte"). Note que o volume do cone C é igual a soma dos volumes do cone CP e do tronco de cone:
Vc = Vt + Vcp
Vt = Vc - Vcp

Se a razão entre Vc e Vt é 2, então:
$\dfrac{Vc}{Vt} = 2 \\ \\ Vc = 2Vt \\ Vc = 2(Vc-Vcp) \\ \\ 2Vc-2Vcp = Vc \\ 2Vcp = Vc \\ \\ \dfrac{Vc}{Vcp} = 2$

Então a relação entre as alturas é:
$( \dfrac{H}{H-h})^3 = 2 \\ \\ H = \sqrt[3]{2}( H - h) \\ \\ h = H (\dfrac{ \sqrt[3]{2} -1 }{ \sqrt[3]{2}}) = H (1 - \dfrac{1 }{ \sqrt[3]{2}})$

Resposta: Letra D