Question

Seja ABC o triângulo de lados l, l e l^i. Foram traçadas retas paralelas aos lados, passando pelos pontos que dividem os lados em três partes iguais, conforme ilustra a figura. Qual a razão entre a área da figura em cinza e a área do triângulo? (A) . 9 (B) . 6 (C) . 5 (D) . 4 (E) . 3

Answer 1

Como foram traçadas retas que dividem cada uma das retas que formam o triângulo em 3, podemos dizer que o valor dos lados de um triângulo menor é igual aos lados do triângulo maior divididos por 3.

Os lados dos triângulos menores são:
$\dfrac{l}{3}, \dfrac{l}{3}, \dfrac{l \sqrt{2} }{3}$

O triângulo ABC possui área dada pela base vezes a altura dividido por 2, ou seja:
$A_{ABC} = \dfrac{l*l}{2} = \dfrac{l^2}{2}$

Os triângulos menores possuem área de:
$A_0 = \dfrac{ \frac{l}{3} * \frac{l}{3} }{2} = \dfrac{ \frac{l^2}{9} }{2} = \dfrac{l^2}{18}$

Como a figura de área cinza possui 3 triângulos de área A0. A razão entre as áreas é:
$\dfrac{3A_{0}}{A_{ABC}} = \dfrac{3 \frac{l^2}{18}}{ \frac{l^2}{2} } \\ \\ \\ \dfrac{3A_{0}}{A_{ABC}} = \dfrac{\frac{l^2}{6}}{ \frac{l^2}{2} } \\ \\ \\ \dfrac{3A_{0}}{A_{ABC}} = \dfrac{1}{3}$

Resposta: E