Question

2- Os pontos A(1,2) e B(3,1) e C(2,4) são vertices de um triangulo . Determine a equação das retas suporte dos lados desse triangulo .

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Anderson, que a resolução é simples. É apenas um pouco trabalhosa, pois teremos que encontrar três equações de retas, que seriam as retas relativas aos vértices A e B; A e C ; e B e C.

i) Vamos encontrar a equação da reta do lado AB, com A(1; 2) e B(3; 1).

Antes veja que uma reta que passa nos pontos A(x₀; y₀) e B(x₁; y₁) tem o seu coeficiente angular (m) encontrado assim:

m = (y₁-y₀)/(x₁-x₀)

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então a reta que passa nos pontos A(1; 2) e B(3; 1), terá o seu coeficiente angular encontrado assim:

m = (1-2)/(3-1)
m = (-1)/(2)
m = -1/2 <--- Este é o coeficiente angular da reta que passa em A(1; 2) e B(3; 1).

Agora vamos encontrar qual é a equação da reta que tem coeficiente angular igual a "-1/2" (m = -1/2) e que passa em um dos pontos dados, que tanto pode ser o ponto A como o ponto B. Vamos considerar o ponto A, que é: A(1; 2). Assim, aplicando-se a fórmula que já vimos em uma outra questão sua, que é a equação da reta quando já se conhece o seu coeficiente angular e um dos pontos por onde ela passa. Essa fórmula é esta:

y - y₀ = m*(x - x₀) ----- Fazendo as devidas substituições, teremos:
y - 2 = (-1/2)*(x - 1) --- ou, o que é a mesma coisa:
y - 2 = -1*(x - 1)/2 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
2*(y-2) = -1*(x-1) ---- efetuando-se os produtos indicados, ficaremos com:
2y-4 = -x + 1 --- passando todo o 2º membro para o 1º, temos;
2y - 4 + x - 1 = 0 --- ordenando e reduzindo os termos semelhantes, temos:
x + 2y - 5 = 0 <--- Esta é a equação do lado AB.

ii) Agora vamos encontrar a equação do lado BC, com AC, com A(1; 2) e C(2; 4). Como já vimos como se calcula o coeficiente angular, teremos;

m = (4-2)/(2-1)
m = (2)/1
m = 2 <--- Este é o coeficiente angular da reta que passa nos pontos A e C.

Agora vamos encontrar a equação da reta, considerando o coeficiente angular (m = 2) e um dos pontos. Consideraremos o ponto A(1; 2). Note que já vimos como se faz isso quando encontramos a reta do lado AB. Assim:

y - 2 = 2*(x - 1)
y - 2 = 2x - 2 ---- passando todo o 1º membro para o 2º, teremos;
0 = 2x - 2 - y + 2 --- ordenando e reduzindo os termos semelhantes, teremos;
0 = 2x - y --- ou, invertendo-se:
2x - y = 0 <--- Esta é a equação da reta do lado AC.

iii) Finalmente, vamos encontrar a equação da reta do lado BC, com B(3; 1) e C(2; 4).
Assim, encontrando logo o coeficiente angular (m), teremos;

m = (4-1)/(2-3)
m = (3)/(-1)
m = 3/-1
m = -3 <--- Este é o coeficiente angular da reta do lado BC.

Agora vamos encontrar a sua equação. Aplicando a fórmula, teremos (e vamos considerar o ponto C(2; 4)):

y - 4 = -3*(x - 2) ---- efetuando este produto, teremos;
y - 4 = - 3x + 6 ---- passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:
y - 4 + 3x - 6 = 0 --- ordenando e reduzindo os termos semelhantes:
3x + y - 10 = 0 <--- Esta é a equação da reta do lado BC.

iv) Assim, resumindo, temos que as equações dos lados AB, AC e BC serão estas:

lado AB:  x + 2y - 5 = 0
lado AC:  2x - y = 0
lado BC =  3x + y - 10 = 0

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.