Question

Uma partícula em movimento descreve sua trajetória sobre se- micircunferências traçadas a partir de um ponto P localizado em uma reta horizontal r, com deslocamento sempre no sentido horário. A figura mostra a trajetória da partícula, até o ponto P3, em r. Na figura, O, O1 e O2 são os centros das três primeiras semicircunferências traçadas e R, R e R seus respectivos 2 4 raios. A trajetória resultante do movimento da partícula será obtida repetindo-se esse comportamento indefinidamente, sendo o centro e o raio da n-ésima semicircunferência dados por On e Rn R 2n respectivamente, até o ponto Pn, também em r. Nessas condições, o comprimento da trajetória descrita pela partícula, em função do raio R, quando n tender ao infinito, será igual a (A) 22 • n • R.

Answer 1

Olá!

Podemos utilizar progressão geométrica para resolver este problema. Como toda PG, primeiro vamos encontrar sua razão.

O comprimento de meio circulo é π*R. Então o primeiro termo da PG é π*R.

O segundo termo é metade do primeiro e o terceiro termo a metade do segundo. Então a razão é 1/2.

A expressão que determina a soma dos termos de uma PG infinita é:

$S_n = \frac{a_1}{1-q}$

$a_1$ é o primeiro termo da PG;
q é a razão.

Substituíndo os dado do problema temos:

$S_n = \frac{pi*R}{1-(1/2)}$

$S_n = 2*pi*R$

A alternativa correta é a letra E.