Considere a equação matricial A + BX = X + 2C, cuja incógnita é a matriz X e todas as matrizes são quadradas de ordem n. A condição necessária e suficiente para que esta equação tenha solução única é que: (A) B - I 4 O, onde I é a matriz identidade de ordem n e O é a matriz nula de ordem n. (B) B seja invertível. (C) B 4 O, onde O é a matriz nula de ordem n. (D) B - I seja invertível, onde I é a matriz identidade de ordem n. (E) A e C sejam invertíveis.
Respostas
- Subtrair A dos dois membros;
A + BX = X + 2C
A + BX - A = X + 2C - A
BX = X + 2C - A
- Subtrair X dos dois membros;
BX - X = X + 2C - A - X
BX - X = 2C - A
- Utilizando a propriedade distributiva:
(B-I)X = 2C - A
- Multiplicar pela inversa de (B-I) nos dois membros:
(B-I)^(-1)(B-I)X = (B-I)^(-1)(2C-A)
X = (B-I)^(-1)(2C-A)
Então, para que esta matriz tenha uma unica solução, (B-I) deve ser invertível.
Resposta: letra D
Olá, iremos resolver esta equação matricial:
Primeiro nós iremos isolar o x de um dos lados do sinal de = (Igual).
A- A + BX = x + 2C - A
BX = X + 2C - A
Fazendo isto, iremos subtrair o X, Também em ambos os lados, desta forma:
BX - X = X - X + 2C -A
BX - X = 2C - A
X.(B - I) = 2C - A
Assim I sendo a matriz identidade, na hora de multiplicar matriz pela identidade, o resultado será a própria matriz.
- Para isolarmos o X, devemos multiplicar os dois lados do sinal, de igual pela matriz inversa de (B - I) sendo assim:
X.(B - I) ⁻¹ = (B - 1) ⁻¹ . (2C - A)
- Devemos nós lembrar que, quando um matriz e invertível, tal produto da matriz pela inversa, é aparente a matriz identidade.
X = (B - I)⁻¹ . (2C - A)
Sendo assim, a equação só terá solução quando B - I for invertível.
Assim sendo, a resposta correta e a alternativa d
Espero ter ajudado <3
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