Question

a quantidade de soluções inteiras da inequação x² + x -6 <0 é? a)2 b)3 c) 4 d)5

Answer 1

Vamos lá.

Veja,Rosasilva, que a resolução é bem simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se a quantidade de soluções INTEIRAS da inequação abaixo:

x² + x - 6 < 0

Veja: queremos que a equação do 2º grau acima seja menor do que zero.
Então vamos encontrar suas raízes e depois, em função delas, faremos o estudo de sinais e diremos quantas soluções INTEIRAS existem.
Para encontrar suas raízes igualaremos a função acima a zero.Assim, teremos:

x² + x - 6 = 0 ----Aplicando Bháskara, você encontra as seguintes raízes para esta equação:

x' = -3;
x'' = 2.

Agora vamos encontrar a variação de sinais da inequação original, que é esta:

x² + x - 6 < 0 .. + + + + + + + (-3) - - - - - - - - - - - -  (2) + + + + + +  + + +

Ora, como queremos que a inequação dada seja MENOR do que zero, então só nos vai interessar o intervalo onde tem sinal de menos no gráfico acima. E, note: no intervalo onde tem sinal menos no gráfico que acabamos de construir, existem as seguintes soluções inteiras: (-2); (-1), (0) e (1).
Logo, são 4 soluções inteiras da inequação da sua questão.
Assim, a resposta será:

4 <---- Esta é a resposta. Opção "c". Ou seja, é de quatro a quantidade de soluções inteiras da inequação dada na sua questão.

Observação importante: note que qualquer equação do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c , com raízes iguais a x' e x'', terá a seguinte variação de sinais:

1)  Para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes) a função f(x) terá o mesmo sinal do termo "a" (o termo "a" é o coeficiente de x²). Ou seja, f(x) terá o mesmo sinal de x < x' e de x > x''.
2) Para valores de "x" iguais às raízes, a função f(x) será igual a zero, ou seja: para x = x' e para x = x''.
3) Para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes), a função f(x) terá sinal contrário ao sinal do termo "a". Ou seja, a função f(x) terá sinal contrário ao termo "a" em: x' < x < x''.

No caso da inequação da sua questão, a variação de sinais está enquadrada no item "3" acima.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.