Question

Encontre a solução das equações abaixo:
a) y'' + 2y' - 2y = 0
b) y'' - 2y' + 10y = 0

Answer 1

a) uma solução viável é y = $e^{rx}$

y´= $r e^{rx}$
y''=$r^{2} e^{rx}$

Substituindo na equação temos:

$y''+2y'-2y=0 \\ \\ r^{2} e^{rx}+2r e^{rx}-2e^{rx}=0 \\ \\ e^{rx}(r^{2}+2r-2) =0$

Sabemos que $e^{rx}$ nunca será igual a zero, então:

$r^{2}+2r-2 =0 \\ \\ delta= 2^{2} - 4 . 1 . (-2) \\ delta=4+8 = 12 \\ \\ r = \frac{-2+- \sqrt{12} }{2} \\ r = \frac{-2+- 2\sqrt{3} }{2} = \frac{2(-1+- \sqrt{3} )}{2} =-1+- \sqrt{3}$

Logo

$r_{1} = -1+ \sqrt{3} \\ \\ r_{2} = -1- \sqrt{3}$

Como são raízes diferentes, a solução será da forma: 

$y(x) = C_{1} e^{ r_{1}x } + C_{2} e^{ r_{2}x }$

Então s solução da equação será:

$y(x) = C_{1} e^{ (-1+ \sqrt{3} )x } + C_{2} e^{ (-1- \sqrt{3} )x }$

b) Resolvendo rapidamente:

$y''-2y'+10y=0 \\ \\ r^{2} - 2r + 10 = 0 \\ \\ delta = (-2)^{2} - 4 . 1 .10 = -36 \\ \\ r = \frac{2+- \sqrt{-36} }{2} = \frac{2+-6i}{2}= \frac{2(1+-3i)}{2} = 1 +- 3i \\ \\ r_{1} = 1+3i \\ \\ r_{2} = 1-3i$

Como as raízes são complexas, a solução será da forma:

$y(x) = e^{ax}.(cos(bx)+sen(bx))$

Onde a e b são, respectivamente a parte real e imaginária das raízes complexas.

No nosso caso temos 1+3i e 1-3i. Em ambos os casos, a = 1 e b = 3

Então a solução será:

$y(x) = e^{ax}.(cos(bx)+sen(bx)) \\ \\ y(x) = e^{x}.(cos(3x)+sen(3x))$