Question

A figura a seguir exibe um pentágono com todos os lados de mesmo comprimento. A medida do ângulo d é igual a a) 105o. b) 120o. c) 135o. d) 150o.

Answer 1

Nomeando os pontos de A, B, C, D e E (começando pelo ângulo reto e seguindo no sentido anti-horário), como os lados AB, BC, CD, DE e EA são iguais de medida L, traçando os segmentos EB e EC, dividimos a figura em 3 triângulos.

No triângulo AEB, podemos determinar a medida de EB usando o Teorema de Pitágoras:
EB² = L² + L²
EB = L√2

Como o ângulo ABC é 135º e o triângulo AEB é isósceles (ângulos da base iguais), temos que o ângulo ABE é igual a 45º, sendo o ângulo EBC = 90º. Então podemos novamente aplicar Pitágoras no triângulo EBC:
EC² = L² + (L√2)²
EC² = L² + 2L²
EC = L√3

Podemos agora aplicar a lei dos cossenos no último triângulo:
EC² = L² + L² - 2LLcosθ
3L² = 2L² -2L²cosθ
L² = -2L²cosθ
cosθ = -1/2

Então o ângulo θ vale 120º.

Resposta: Letra B