Question

UFC-CE ) Valor exato de:
$\sqrt{32+10 \sqrt{7} } + \sqrt{32-10 \sqrt{7} }$

Answer 1

$\sqrt{32+10\sqrt{7}}+\sqrt{32-10\sqrt{7}}=x\\\\\left(\sqrt{32+10\sqrt{7}}+\sqrt{32-10\sqrt{7}} \right)^2=x^2\\\\32+10\sqrt{7}+2\sqrt{(32+10\sqrt{7})(32-10\sqrt{7})}+32-10\sqrt{7}=x^2\\\\64+2\sqrt{1024-700}=x^2\\\\x^2=64+2\sqrt{324}=\\\\x^2=64+2\cdot18\\\\x^2=100\\\\\boxed{x=\pm10}$

Answer 2

O valor exato da expressão é ±10.

Para responder corretamente esse tipo de questão, devemos levar em consideração que:

• Quando temos raízes quadradas, podemos retirá-las da equação ao elevar os dois membros ao quadrado;
• A equação terá a forma de produto notável (a + b)² = a² + 2ab + b²;

Utilizando essas informações,  elevando os membros ao quadrado, temos:

x = √(32 + 10√7) + √(32 - 10√7)

x² = [√(32 + 10√7) + √(32 - 10√7)]²

Utilizando a fórmula do produto notável, temos:

x² = (√(32+10√7))² + 2.√(32+10√7).√(32-10√7) + (√(32 - 10√7)²

x² = 32 + 10√7 + 2.√(32+10√7).(32-10√7) + 32 - 10√7

Note que dentro da raiz, temos um produto notável da forma (a + b)(a - b) que resulta em a² - b², logo:

x² = 64 + 2.√(32² - (10√7)²)

x² = 64 + 2.√324

x² = 64 + 2.18

x² = 100

x = ±10

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