Question

Determine o valor de n de modo que a seqeuncia (2+3n; -5n; 1 - 4n) seja uma p.a

Answer 1

Olá! Tudo bem?

Para esta questão, precisamos entender que para trabalharmos com uma progressão aritmética, podemos utilizar a fórmula de termo geral:
An = termo geral (geralmente, o último termo)
A₁ = primeiro termo
N = número de termos
r = razão (para descobrir, basta subtrair do segundo termo, o primeiro)

An = A₁ + (N - 1) . r
Agora, só basta aplicar nessa fórmula, pois, sabemos que, se descobrirmos o valor de n através dela, será certamente uma progressão aritmética (P.A.).
Ficaria assim:
(1 - 4n) = (2 + 3n) + (3 - 1) . (- 5n - (2 + 3n))
*Lembrando que, na parte da razão, só bastou pegar o primeiro termo e subtrair do primeiro*

Agora, resolvamos:
1 - 4n = 2 + 3n + (2 . (- 5n - 2 - 3n))
1 - 4n = 2 + 3n + (2 . (- 8n - 2))
1 - 4n = 2 + 3n + (- 16n - 4)
1 - 4n = 2 + 3n - 16n - 4
(Reorganizando)
- 4n - 3n + 16n = 2 - 4 - 1
16n - 7n = - 3
9n = - 3
n = - 3/9
n = - 1/3

n terá que ser igual a -1/3 para a sequência ser uma progressão aritmética. Qualquer dúvida, pode confirmar substituindo o valor:
(2 + 3 . (- 1/3)) ; (- 5 . (- 1/3)) ; (1 - 4 . (- 1/3))
(2 - 3/3) ; (5/3) ; (1 + 4/3)
(2 - 1) ; (1,66) ; (2,33)
1 ; 1,66 ; 2,33
Uma progressão de razão aproximada = 0,66...

Espero ter ajudado!