Question

Dada a progreçao aritmética 2,5,8,11,... Entre as somas dos termos da PA desde o 21° até o 41° termo, inclusive, é igual a?

Answer 1

Primeiro devemos encontrar a razão dessa P.A.

$R = a_{2} - a_{1} \\ \\ R = 5 - 2 \\ \\ R = 3$

Portanto, essa é uma P.A. de razão $R = 3$.

Agora precisamos encontrar o valor dos respectivos termos para a soma ($a_{21}$ e $a _{41}$).

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) . R \\ \\ \\ a_{21} = 2 + (21 - 1) . 3 \\ \\ a_{21} = 2 + (20.3) \\ \\ a_{21} = 2 + 60 \\ \\ a_{21} = 62$


$a_{41} = 2 + (41 - 1) . 3 \\ \\ a_{41} = 2 + (40.3) \\ \\ a_{41} = 2 + 120 \\ \\ a_{41} = 122$

Veja então que a soma que buscamos é a seguinte:

$(62;65;68;...;119;122)$

Vamos então calcular o número de termos que há nesse espaço da P.A.

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) . R \\ \\ 122 = 62 + (n - 1) . 3 \\ \\ 122 = 62 + 3n - 3 \\ \\ 122 = 59 + 3n \\ \\ 3n = 122 - 59 \\ \\ 3n = 63 \\ \\ n = \frac{63}{3} \\ \\ n = 21$

Portanto, temos 21 termos entre o $a_{21}$ e o $a_{41}$.

Agora basta utilizarmos a fórmula da soma de n termos de uma P.A.

$S_{n} = \frac{ (a_{1} + a_{n}) . n }{2} \\ \\ S_{21} = \frac{ (62 + 122) . 21 }{2} \\ \\ S_{21} = \frac{ (184) . 21 }{2} \\ \\ S_{21} = \frac{3864}{2} \\ \\ S_{21} = 1932$

Logo, a soma dos termos da P.A. desde o 21° termo até o 41° (incluído) é igual a 1932.