Question

Determine Y-X em função de a e b

Answer 1

Olá,

Da figura abaixo, temos que o ângulo BAC é igual ao ângulo CBD. E o ângulo ACB é igual ao ângulo BCD (ângulo comum). Logo, ΔABC ~ ΔBDC. Daí, temos que 
$\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{BC} = \frac{BC}{DC}$
Ou seja, $\frac{a}{x} = \frac{a+b}{y} = \frac{y}{b}$

Daí, temos as seguintes relações:

$\frac{a}{x} = \frac{a+b}{y}$
a.y = x.a + x.b
a.y - a.x = x.b
a(y-x) = x.b
y - x = $\frac{xb}{a}$ (*)

De $\frac{a}{x} = \frac{y}{b}$ obtemos:
a.b = x.y
$x = \frac{ab}{y}$

E de $\frac{a+b}{y} = \frac{y}{x}$ obtemos:
$y^{2}$ = (a+b).b
y = $\sqrt{b(a+b)}$

Daí, substituindo em (*) temos que:
y - x = $\frac{xb}{a} = \frac{ab}{ \sqrt{(a+b).b} } * b * \frac{1}{a} = \frac{b^{2}}{ \sqrt{(a+b).b} }$