Question

(FUVEST) Em uma primeira fase de um campeonato de xadrez cada jogador joga contra todos os demais. Nessa fase foram realizados 78 jogos. Quantos eram os jogadores?

a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14

Answer 1

Olá Caio.

Como a ordem não influi temos uma combinação:

Não sabemos quantos jogadores são, mas sabemos que são 78 jogos e que é uma partida realizada entre dois jogadores, então:

$C_{ n,2 }=\frac { n! }{ p!(n-p)! } =78\\ \\ C_{ n,2 }=\frac { n! }{ 2!(n-2)! } =78\\ \\ C_{ n,2 }=\frac { n(n-1)(n-2)! }{ 2!(n-2)! } =78\\ \\ C_{ n,2 }=\frac { n(n-1) }{ 2 } =78\\ \\ C_{ n,2 }=n^{ 2 }-n=156\\ C_{ n,2 }=n^{ 2 }-n-156\\ \\ n^{ 2 }-n-156=0\\ \\(n-13)(n+12)\\ \\ n-13=0\\ n=13\\ \\ n+12=0\\ n=-12$

Bom, não existem -12 jogadores, então sabemos que é 13 jogadores.

Answer 2

Oi Caio, como vai?

Se nessa fase do campeonato cada jogador joga contra os demais, então para a formação dos jogos não nos importa a posição dos membros. Por exemplo, João joga contra Carlos, o que seria exatamente o mesmo que Carlos jogar contra João. Essa situação é específica de um estudo da análise combinatória chamada de Combinações. O termo geral de uma combinação é dado por:
$C_{n,p}= \frac{n!}{p!(n-p)!}$

A combinação de n membros pode ser dada tomando-os x a x, da forma que nos for conveniente. Note, no entanto, que para uma partida de xadrez, são necessários 2 e apenas 2 jogadores. Portanto, sabendo que o resultado dessa combinação é 78, podemos dizer que:
$78_{n,2}= \frac{n!}{2!(n-2)!}$

Finalmente basta desenvolvermos a expressão:
$78_{n,2}= \frac{n!}{2!(n-2)!} \\ \\ 78 = \frac{n*(n-1)*(n-2)!}{2!*(n-2)!} \\ \\ 78 = \frac{n*(n-1)}{2} \\ \\ 156 = n^2-n \\ \\ n^2-n-156=0 \\ \\ \Delta = 1-4(1)(-156) \\ \\ \Delta = 625$

$n' = \frac{1+25}{2}= \boxed{13} \\ \\ n'' = \frac{1-25}{2}= \boxed{-12}$

Os resultados possíveis são 13 e -12. Como representa um número de pessoas, este número não pode ser negativo. Portanto, conclui-se que n vale necessariamente 13.

Bons estudos!