Question

Determine k de modo que o valor mínimo da função f(x) = (k - 1)x² + 6x - 2 seja - 5.

Answer 1

Ele só quer saber o y do vértice

$y_v=-\frac{\Delta}{4a}$

$y_v=-\frac{(b^2-4*a*c)}{4*a}$

$y_v=-\frac{(36-4*(k-1)*(-2))}{4*(k-1)}=-5$

$\boxed{\boxed{k=4}}$

Answer 2

$f(x) = (k - 1) x^{2} + 6x - 2$

Onde:
$a=(k-1)$
$b=6$
$c=-2$

$\Delta= b^{2} -4ac= 6^{2} -4.(k-1).(-2)=36+8.(k-1)=36+8k-8$$=28+8k$

Para que a função quadrática acima tenha um valor mínimo, o valor de (k - 1) deverá ser positivo, pois a parábola que a representa deverá ter sua curvatura voltada para cima.

O valor mínimo da função corresponde ao valor de $y$ do vértice da parábola. Logo,temos:

$y_{v} = \dfrac{-\Delta}{4a}$

$y_{v} = \dfrac{-(28+8k)}{4.(k-1)}= \dfrac{-4.(7+2k)}{-4(1-k)}= \dfrac{(7+2k)}{(1-k)}$

$\text{Se }y_{v} =-5$ ⇒ $\dfrac{(7+2k)}{(1-k)}=-5$

$7+2k=-5.(1-k)$

$7+2k=-5+5k$

$2k-5k=-5-7$

$-3k=-12$

$k= \dfrac{-12}{-3}$

$k= 4$

Obs.: $(k-1)=4-1=3$ → o coeficiente a é positivo.