Question

os lados de um triângulo são : 16-x , 2x+2,x+12. sejam os conjuntos A = { x ∈ ℝ / 10 <x<15 } , B = { x ∈ |R /0<15 } , C = { x ∈ ℝ / 5<x< 10 } e D = { x ∈ ℝ / 1 meio >x>13} . Dizemos que x é solução , se para todo x real , o triangulo existe . com base nisso , pode - se afirmar que :
alternativas na imagem , mostre como resolver

Answer 1

Da desigualdade triangular,temos que dado um triângulo de lados "a","b" e "c",têm-se necessariamente:

|a-c|<b<a+c  (i)
|a-b|<c<a+b  (ii)
|b-c|<a<b+c  (iii)

A questão informa que os lados são "16-x", "2x+2" e "x+12",fazendo
"a=16-x", "b=2x+2" e "c=x+12",temos:

(Usando a desigualdade (ii))

|16-x-(2x+2)|<x+12<16-x+(2x+2)    ⇔
|16-x-2x-2|<x+12<16-x+2x+2    ⇔
|14-3x|<x+12<18+x   ⇔   

Temos duas possibilidades para o módulo de "14-3x",que são:

|14-3x|=$\left \{ {{14-3x,se\ 14 \geq 3x} \atop {3x-14,se\ 14\ \textless \ 3x}} \right.$



Para x$\leq \frac{14}{3}$,temos:

14-3x<x+12<18+x    ⇔
14-3x+3x<x+12+3x<18+x+3x   ⇔
14<4x+12<18+4x  ⇔
(14<4x+12) e (4x+12<18+4x) (Óbvio)
14-12<4x  ⇔
2<4x
4x>2
x>$\frac{2}{4}$
x>$\frac{1}{2}$


Para x>$\frac{14}{3}$,temos:

3x-14<x+12<x+18   ⇔
3x-3x-14<x-3x+12<x-3x+18  ⇔
-14<-2x+12<-2x+18  ⇔
(-14<-2x+12) e (-2x+12<-2x+18) (Óbvio)
-14-12<-2x  ⇔
-26<-2x  ⇔
26>2x ⇔
2x<26
x<$\frac{26}{2}$
x<13

Com isso temos que $\frac{1}{2}$<x<13,isso implica que o conjunto "D" * contém todas as soluções.


*Obs: O conjunto "D" em está escrito de modo incorreto (no enunciado da questão).




Abraçoss!!