Question

como determina o valor de k sabendo que o polinômio p(x)=2x³-3x²+kx-4 é o divisível pelo polinômio f(x)=x+3?

Answer 1

Utilizando Briot - Ruffini
Temos:
2      -3        K             -4              I -3
2      -9     27+K     -85 - 3K

Como o ultimo termo da divisão tem que ser 0, temos:
-85 -3K = 0
K = -85/3

Answer 2

Se o polinômio é dividido pelo binômio, podemos aplicar o teorema do resto

Sendo p(x) o polinômio e 'a' a raiz do divisor, sabemos que:

$\boxed{\boxed{P(a)=R(x)}}$

Como p(x) é divisível por f(x), o resto da divisão é igual a zero:

$\boxed{\boxed{p(a)=R(x)=0}}$
__________________________

Calculando a raiz do divisor f(x):

$x+3=0\\x=-3$

Então, sabemos que:

$p(a)=0\\p(-3)=0\\2(-3)^{3}-3(-3)^{2}+k(-3)-4=0\\2(-27)-3(9)-3k-4=0\\-54-27-3k-4=0\\-85-3k=0\\-3k=85\\3k=-85\\\\\boxed{\boxed{k=-\dfrac{85}{3}}}$