Question

(PUC,SP) A(3,5) B(1,-1) C(X,-16) PERTENCEM A UMA MESMA RETA SE X É IGUAL A ;

Answer 1

 Daniel, se os três pontos estão na mesma reta, isto é, são colineares; então o coeficiente angular formado por tais retas são iguais. 

 Coeficiente angular da reta formada pelos pontos A e B é dado por:

$\alpha=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\\\\\alpha=\frac{-1-5}{1-3}\\\\\alpha=\frac{-6}{-2}\\\\\boxed{\alpha=3}$

Coeficiente angular da reta formada pelos pontos B e C é, também, (+ 3). Portanto,

$\alpha=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}\\\\3=\frac{-16+1}{x-1}\\\\3=\frac{-15}{x-1}\\\\3(x-1)=-15\\\\x-1=-5\\\\\boxed{\boxed{x=-4}}$

Answer 2

Uma outra forma distinta de encontrar o valor de "x" é através de Determinante. Se os pontos A, B e C pertencem a mesma reta, ou seja, são colineares, significa que o determinante dos pontos será sempre igual a zero. Veja só:

$\left|\begin{array}{ccc}3&5&1\\1&-1&1\\x&-16&1\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}3&5\\1&-1\\x&-16\end{array}\right$

Pelo método de Sarrus, desse Determinante sai o seguinte dado:

$Resolu\c{c}\~ao \to \left\{\begin{array}{ccc}det = (-3+5x-16)-(-x-48+5)\\\\0 = (5x-19)-(-x-43)\\\\0 = 5x-19+x+43\\\\0 = 6x+24\\\\6x = -24\\\\\boxed{\boxed{x = -4}}\end{array}\right$

Espero ter ajudado. :))