Question

Determine o conjunto de valores reais x para que seja possível existir os logaritmos:
(Com contas por favor)

Answer 1

Temos como condição de existência de um logaritmo, o seguinte:

$log_{b} ~a = x$

$a\ \textgreater \ 0 \\ b\ \textgreater \ 0 \\ b \neq 1$

Assim temos:

1ª Questão:

$log_{x}(x-3) \\ \\ x-3\ \textgreater \ 0 \therefore x\ \textgreater \ 3 \\ \\ x\ \textgreater \ 0 \\ \\ x \neq 1$

Assim se prevalecerá a primeira condição, pois sendo  $x\ \textgreater \ 3$, também será diferente de 1 e maior do que 0. Logo temos como conjunto solução:

$S = \{x \in \mathbb{R} | x\ \textgreater \ 3\}$

2ª Questão:

$log_{x-1}(x+4) \\ \\ x+4\ \textgreater \ 0 \therefore x\ \textgreater \ -4 \\ \\ x-1\ \textgreater \ 0 \therefore x\ \textgreater \ 1 \\ \\ x-1 \neq 1 \therefore x \neq 2$

Agora temos duas condições que irão prevalecer, $x\ \textgreater \ 1$ e $x \neq 2$. Não podemos descartar a primeira condições pois estamos tratando de reais. Logo temos com conjunto solução:

$S = \{x \in \mathbb{R} | x\ \textgreater \ 1~ e~ x \neq 2\}$

3ª Questão:

$log_{x-5}10 \\ \\ 10\ \textgreater \ 0 \\ \\ x-5\ \textgreater \ 0 \therefore x\ \textgreater \ 5 \\ \\ x-5 \neq 1 \therefore x \neq6$

Novamente temos duas condições, $x\ \textgreater \ 5$ e $x \neq 6$. Logo o conjunto solução:

$S = \{x \in \mathbb{R} | x\ \textgreater \ 5~ e~ x \neq 6\}$