Question

As representações gráficas dos complexos z tais que z³=1 são os vértices de um triângulo. Em relação a esse triângulo assinale o que for correto.

01.É um triângulo isósceles de lado igual a $\sqrt{3}$u.c

02.É um triângulo isósceles de altura igual a $\frac{3}{4}$u.c

04.Um de seus vértices pertence ao 2° quadrante

08.Seu perímetro é $3 \sqrt{3}$u.c

16.Sua área é $\frac{3 \sqrt{3} }{4}$u.a

Answer 1

Oi Ademir.

Basta usar a segunda fórmula de Moivre para achar as raízes desse complexo.

A fórmula é:

$z_{ k }=\sqrt [ n ]{ \rho } (cos(\frac { \theta }{ n } +k*\frac { 2\pi }{ n } )+isen(\frac { \theta }{ n } +k*\frac { 2\pi }{ n } ))$

O K é o número da raiz que queremos encontrar.
O N é número de raízes.
O PI vale 180°.

Dado o complexo vamos achar o valor do seu módulo.

$z^{ 3 }=1\\ \\ |z|=\sqrt { a^{ 2 }+b^{ 2 } } \\ |z|=\sqrt { 1^{ 2 }+0^{ 2 } } \\ |z|=\rho =1$

Lembrando que a fórmula do complexo é z=a+bi, onde b é o número imaginário, como não temos número imaginário na equação o valor do b=0

Achado o módulo vamos achar o seu conjugado.

$cos\frac { a }{ |z| } \\ \\ cos\frac { 1 }{ 1 } \Rightarrow 1\\ \\ sen\frac { b }{ |z| } \\ \\ sen\frac { 0 }{ 1 } \Rightarrow 0\\ \\ \\ \\ \theta =0^{ o }$

O argumento vale 0° já que o cosseno é 1 e o seno 0.


Agora vamos achar as raízes.


Basta substituir o valores na fórmula.

$z_{ 0 }=\sqrt [ 3 ]{ 1 } (cos(\frac { \theta }{ n } +k*\frac { 2\pi }{ n } )+isen(\frac { \theta }{ n } +k*\frac { 2\pi }{ n } ))\\ \\ \\ z_{ 0 }=1(cos(\frac { 0^{ o } }{ 3 } +0*\frac { 360^{ o } }{ 3 } )+isen(\frac { 0^{ o } }{ 3 } +0*\frac { 360^{ o } }{ 3 } ))\\ \\ z_{ 0 }=1$

$z_{ 1 }=1(cos(\frac { 0^{ o } }{ 3 } +1*\frac { 360^{ o } }{ 3 } )+isen(\frac { 0^{ o } }{ 3 } +1*\frac { 360^{ o } }{ 3 } ))\\ \\ z_{ 1 }=1(cos120^{ o }+isen120^{ o })\\ z_{ 1 }=-\frac { 1 }{ 2 } +\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } i$

$z_{ 2 }=1(cos(\frac { 0^{ o } }{ 3 } +2*\frac { 360^{ o } }{ 3 } )+isen(\frac { 0^{ o } }{ 3 } +2*\frac { 360^{ o } }{ 3 } ))\\ \\ z_{ 2 }=1(cos240^{ o }+isen240^{ o })\\ z_{ 2 }=-\frac { 1 }{ 2 } -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } i$


As raízes são:

$z=1;-\frac { 1 }{ 2 } +\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } i;-\frac { 1 }{ 2 } -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } i$


Jogando isso no plano de Argand Gauss acharemos esse triãngulo da primeira imagem, cujo os valores estão na segunda imagem.

Agora vamos analisar a assertivas e ver quais são verdadeiras.

Primeiro vamos achar a hipotenusa de um lado desse triângulo.

$(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } )^{ 2 }+(\frac { 3 }{ 2 } )^{ 2 }=hip^{ 2 }\\ \\ \frac { 3 }{ 4 } +\frac { 9 }{ 4 } =hip^{ 2 }\\ \\ \frac { 12 }{ 4 } =hip^{ 2 }\\ \\ \frac { \sqrt { 12 } }{ \sqrt { 4 } } =hip\\ \\ \frac { 2\sqrt { 3 } }{ 2 } =hip\\ \\ \sqrt { 3 } =hip$

Com isso concluímos que a hipotenusa dos dois triângulos vale raiz de 3.


Agora vamos calcular os valores do triângulo maior. Basta somar os dois lado dos catetos.

$\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } =\frac { 2\sqrt { 3 } }{ 2 } \Rightarrow \sqrt { 3 }$

Creio que na 1 houve um equívoco, o certo seria triângulo equilátero, não isósceles.

Com isso concluímos que os três lados desse triângulo é raiz de 3, ou seja, a
afirmação 1 é verdadeira.


A 2 é falsa, pois esse triângulo não é isósceles.


A 4 é verdadeira, se você olhar na primeira imagem vai perceber que um de deus vértices pertence ao 2° quadrante.


A 8 quer a o perímetro, que é soma dos lados.
$\sqrt { 3 } +\sqrt { 3 } +\sqrt { 3 } =3\sqrt { 3 }$


Essa também é verdadeira.


Agora a última quer a a área. Como ele é equilátero podemos usar a fórmula do triângulo equilátero para acharmos a área.


$A=\frac { l^{ 2 }\sqrt { 3 } }{ 4 } \\ \\ A=\frac { (\sqrt { 3 } )^{ 2 }*\sqrt { 3 } }{ 4 } \\ \\ A=\frac { 3\sqrt { 3 } }{ 4 }$


Ou seja, o gabarito é:


29

Answer 2

Com base no estudo sobre números complexos, temos como resposta

• afirmação 1 é verdadeira.
• afirmação 2 é falsa
• afirmação 3 é verdadeira.
• afirmação 3 é verdadeira

Raízes de um n° complexo

Vamos começar o exercício com o seguinte questionamento: "Quantas raízes tem um n° complexo?"

• Duas raízes quadradas;
• Três raízes cúbicas;
• Quatro raízes quartas;
• Cinco raízes cúbicas;
• seguindo o raciocínio ;
• N raízes enésimas.

Seja x um n° complexo, real ou imaginário:

$\begin{cases}\sqrt{x}\Rightarrow Ha\:2\:numeros\:cujo\:quadrado\:eh\:igual\:a\:x\:\:&\\ \sqrt[3]{x}\Rightarrow Ha\:3\:numeros\:cujo\:cubo\:eh\:igual\:a\:x\:\:&\\ \sqrt[4]{x}\Rightarrow Ha\:4\:numeros\:cujo\:a\:quarta\:potencia\:\:eh\:igual\:a\:x\:\:&\end{cases}$

$\sqrt[n]{x}\Rightarrow Ha\:n\:numeros\:cujo\:a\:enesima\:potencia\:eh\:igual\:a\:x$

Seguindo esse raciocínio podemos resolver o exercício

• $\begin{cases}\sqrt[3]{1}\Rightarrow n=3&\\ z=1\Rightarrow z=1+0i&\end{cases}$

• $\left|z\right|=\left|1\right|=1$

• $\theta =0^{\circ }\left(1\:esta\:a\:direita\:de\:0\right)$

• $z=1\left(cos\:0^{\circ }+i\:sen\:0^{\circ }\right)$

Cálculo da raízes cúbicas de 1:

• Módulo das raízes: $\sqrt[n]{\left|z\right|}=\sqrt[3]{1}=1$

• Argumento das raízes:$\theta _1=\dfrac{\theta }{n}=\dfrac{0^{\circ }}{3}=0^{\circ }$

Como $\dfrac{360^{\circ \:}}{3}=120^{\circ }$, os outros dois argumentos são

$\theta _2=0^{\circ }+120^{\circ \:}=120^{\circ }$

$\theta _3=120^{\circ }+120^{\circ \:}=240^{\circ }$

Assim as 3 raízes cúbicas de 1 são:

$\begin{cases}x_1=1\left(cos\:0^{\circ }+i\:sen\:0^{\circ }\right)&\\ x_2=1\left(cos\:120^{\circ }+i\:sen\:120^{\circ }\right)&\\ x_3=1\left(cos\:240^{\circ }+i\:sen\:240^{\circ }\right)&\end{cases}$

Na forma algébricas elas ficam:

$\begin{cases}x_1=1&\\ x_2=-\frac{1}{2}+i\:\frac{\sqrt{3}}{2}&\\ x_3=-\frac{1}{2}-i\:\frac{\sqrt{3}}{2}&\end{cases}$

Com base nas informações e na análise do gráfico em anexo, temos como resposta :

afirmação 1 é verdadeira.

afirmação 2 é falsa

afirmação 3 é verdadeira.

afirmação 3 é verdadeira

saiba mais sobre números complexos:https://brainly.com.br/tarefa/2068499

#SPJ2