Question

O sistema de posicionamento global (GPS) funciona, utilizando-se uma rede de satélites distribuídos em torno da Terra. Ao receber os sinais dos satélites, o aparelho receptor GPS calcula sua posição P = (a, b, c) com relação a um certo sistema ortogonal de coordenadas cartesianas em IR3 e, depois, converte essas coordenadas cartesianas para coordenadas geográficas: latitude , longitude X e elevação p. Se a > 0, b > 0 e c > 0, então 0 é o ângulo entre os vetores (a, b, c) e (a, b, 0), X é o ângulo entre os vetores (a, b, 0) e (1,0,0) e p é a distância da origem do sistema de coordenadas ao ponto P, conforme a figura abaixo. Para a>0,b>0ec>0, assinale a alternativa correta. (A) a = p cos(0) cos(A), ò = psen(0)cos(A), c = psen(A) (B) a = psen(0)cos(À), b=psen(ij>)ser\(X), c = pcos(0) (C) a = pcos(0)sen(/l), b = p cos() cos(A), c = p sen(0) (D) a=psen(0)sen(A), ò = psen(0)cos(A), c = p cos(0) (E) a = pcos(p) cos(À), b = p cos(0) sen(A), c = psen(0)

Answer 1

Olá.

Podemos observar que foram formados 2 triângulos retângulos, que estão desenhados na imagem abaixo. 

Do enunciado, temos que ρ é a distância entre a origem (0,0,0) e o ponto (a,b,c).
Logo, ρ = $\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

Do triângulo da esquerda, temos que:
senΦ = $\frac{c}{ \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} }$
Ou seja, senΦ = $\frac{c}{p}$
Portanto, c = ρsenΦ

Desse mesmo triângulo, temos que:
cosΦ = $\frac{ \sqrt{a^{2}+b^{2}}}{p}$
$\sqrt{a^{2}+b^{2}} = pcosΦ$

Do primeiro triângulo, temos que:
senλ = $\frac{b}{ \sqrt{a^{2}+b^{2}} }$ e cosλ = $\frac{a}{ \sqrt{a^{2}+b^{2}} }$

Como $\sqrt{a^{2}+b^{2}} = pcosΦ$, então a = ρcosΦcosλ e b = ρcosΦsenλ .

Logo, a alternativa correta é a letra e)