Question

quantas são as palavras de 4 letras formadas apenas por vogais que tem exatamente duas letras iguais

Answer 1

Vamos pensar o seguinte: Queremos uma palavra com quatro letras, na qual as letras só podem ser vogais. Vou representar esta palavra assim:

$\left[\underline{\text{\ X\ }}\ \underline{\text{\ X\ }}\ \underline{\text{\ Y\ }}\ \underline{\text{\ Z\ }} \right ]$

Coloquei entre colchetes, para indicar que as letras podem trocar de ordem, e teremos que calcular quantas permutações são possíveis.

Indiquei por $\text{"X"}$ a vogal que se repete e as outras vogais indiquei por $\text{"Y"}$ e $\text{"Z"}$. Assim

temos $5\text{ possibilidades}$ possibilidades para a vogal $\text{"X"}$: $\left\{\text{a},\text{e},\text{i},\text{o},\text{u}\right\}$;

temos $5-1=4\text{ possibilidades}$ para a vogal $\text{"Y"}$, pois sendo escolhida a vogal $\text{"X"}$, o número de possibilidades diminui em $1$;

temos $4-1=3\text{ possibilidades}$ para a vogal $\text{"Z"}$, pois sendo escolhida a vogal $\text{"Y"}$, o número de possibilidades diminui em $1$.

Agora, temos que calcular de quantas formas diferentes estas vogais podem estar dispostas, ou seja, calcular o número de anagramas de $\left[\underline{\text{\ X\ }}\ \underline{\text{\ X\ }}\ \underline{\text{\ Y\ }}\ \underline{\text{\ Z\ }} \right ]$ que é dado por uma permutação de $4$ elementos, com $2$ elementos iguais (repetidos). Então, o número de anagramas é dado por

$P_{4}^{(2)}=\frac{4!}{2!}$

Assim, o total de palavras diferentes é dado por

$\underbrace{P_{4}^{(2)}}_{\text{[\underline{\text{X}}\ \underline{\text{X}}\ \underline{\text{Y}}\ \underline{\text{Z}}]}} \cdot \underbrace{5}_{\text{X}} \cdot \underbrace{4}_{\text{Y}} \cdot \underbrace{3}_{\text{Z}}\\ \\ =\frac{4!}{2!} \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3\\ \\ =\frac{4 \cdot 3 \cdot \not{2!}}{\not{2!}}\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3\\ \\ =4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3\\ \\ =720 \text{ palavras}$

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo: