Question

Dados os números complexos Z¹ = 1 + 4i, Z² = 2 + 3i e Z³ = 2 - 7i. Determine cada calculo abaixo colocando na forma ( a + bi). Depois, determine a parte real (a), a parte imaginaria (b) e classifique o número complexo quanto a ser: imaginário, real, imaginário puro ou nulo.


A) Z¹ + Z² + Z³


B) Z¹(com traço em cima do z) + Z² + Z³ (com traço em cima do z)


Obs: Os números ficam na parte de baixo do Z como não sei colocar coloquei na parte superior.

Answer 1

Temos estes três números complexos:

$z_{1}=1+4i\\ \\ z_{2}=2+3i\\ \\ z_{3}=2-7i$


$\text{(A)\, \, }z_{1}+z_{2}+z_{3}$

$z_{1}+z_{2}+z_{3}=\left(1+4i \right )+\left(2+3i \right )+\left(2-7i \right )\\ \\ =1+4i+2+3i+2-7i\\ \\ =1+2+2+4i+3i-7i\\ \\ =\left(1+2+2 \right )+\left(4+3-7 \right )i\\ \\ =5+0i \text{ \, (ou simplesmente }5\text{)}$

parte real: $a=5$
parte imaginária: $b=0$

$z_{1}+z_{2}+z_{3}=5+0i=5$ é um número real, pois sua parte imaginária $b$ é igual a $0\text{ (zero)}$.


$\text{(B)\, \, }\overline{z_{1}}+z_{2}+\overline{z_{3}}$

O traço em cima de um número complexo indica que estamos nos referindo ao conjugado desse número.

O conjugado de um número complexo $z=a+bi$, com $a,b \in \mathbb{R}$, é outro número complexo que possui a mesma parte real $a$, mas a sua parte imaginária tem o sinal oposto. Assim, o conjugado de $z=a+bi$ é

$\overline{z}=a-bi$

Sendo assim, podemos calcular

$\overline{z_{1}}+z_{2}+\overline{z_{3}}=\overline{\left(1+4i \right )}+\left(2+3i \right )+\overline{\left(2-7i \right )}\\ \\ =\left(1-4i \right )+\left(2+3i \right )+\left(2+7i \right )\\ \\ =1-4i+2+3i+2+7i\\ \\ =1+2+2-4i+3i+7i\\ \\ =\left(1+2+2 \right )+\left(-4+3+7 \right )i\\ \\ =5+6i$

parte real: $a=5$
parte imaginária: $b=6$

$\overline{z_{1}}+z_{2}+\overline{z_{3}}=5+6i$ é um número imaginário (não puro, pois ele possui parte real diferente de zero).