Question

com 6 pessoas, a quantidade de duplas que podem ser formadas é maior, menor ou igual á quantidade de quartetos que podem ser formadas

Answer 1

A quantidade de duplas que podem ser formadas é a quantidade de combinações simples de $6$ elementos, tomados $2$ a $2$, que é

$C_{6,2}=\frac{6!}{2!\cdot\left(6-2 \right )!}=\frac{6!}{2! \cdot 4!}$


A quantidade de quartetos que podem ser formados é a quantidade de combinações simples de $6$ elementos, tomados $4$ a $4$, que é

$C_{6,4}=\frac{6!}{4!\cdot\left(6-4 \right )!}=\frac{6!}{4! \cdot 2!}$


Observando os resultados, notamos que

$C_{6,2}=C_{6,4}$


Então, a quantidade de duplas que podem ser formadas é igual à quantidade de quartetos que podem ser formadas com $6$ pessoas.

Answer 2

A quantidade de duplas que podem ser formadas é igual à quantidade de quartetos que podem ser formadas.

Vamos verificar a quantidade de duplas e quartetos que é possível formar com seis pessoas.

Para isso, observe que a ordem da escolha das pessoas para compor a dupla ou o quarteto não é importante.

Sendo assim, utilizaremos a fórmula da Combinação: $C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Então, a quantidade de duplas possíveis é igual a:

$C(6,2)=\frac{6!}{2!4!}$

C(6,2) = 15.

Já a quantidade de quartetos possíveis é igual a:

$C(6,4)=\frac{6!}{4!2!}$

C(6,4) = 15.

Portanto, podemos concluir que a quantidade de duplas é igual à quantidade de quartetos.

Considere que as seis pessoas são A, B, C, D, E e F.

As duplas são:

(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(A,F)(B,C)(B,D)(B,E)(B,F)(C,D)(C,E)(C,F)(D,E)(D,F)(E,F).

Os quartetos são:

(A,B,C,D)(A,B,C,E)(A,B,C,F)(A,B,D,E)(A,B,D,F)(A,C,D,E)(A,C,D,F)(A,C,E,F)(A,D,E,F)(A,B,E,F)(B,C,D,E)(B,C,D,F)(B,C,E,F)(B,D,E,F)(C,D,E,F).

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