Question

Quantas soluções, alguém sabe ?

Answer 1

Queremos resolver a inequação $x^{2}+x-20<0$, no campo dos números naturais: $x \in \mathbb{N}$.

$x^{2}+x-20<0\\ \\ x^{2}+5x-4x-20<0\\ \\ x\cdot\left(x+5 \right )-4\cdot\left(x+5 \right )<0\\ \\ \left(x+5 \right )\cdot\left(x-4\right)<0$


Para que o produto seja menor que zero, os sinais dos fatores devem ser diferentes. Assim, devemos ter

$\begin{array}{rcl} x+5>0&\text{ e }&x-4<0\\ &\text{ou}&\\ x+5<0&\text{ e }&x-4>0\\ \end{array}$


$\begin{array}{rcl} x>-5&\text{ e }&x<4\\ &\text{ou}&\\ x<-5&\text{ e }&x>4\\ \end{array}$


Nota-se que a segunda opção

$\begin{array}{rcl}x<-5&\text{ e }&x>4\\ \end{array}$

é impossível de ser satisfeita. Então, só nos resta ter

$\begin{array}{rcl} x>-5&\text{ e }&x<4\\ \end{array}\\ \\ \boxed{-5<x<4}$


Os números naturais que satisfazem esta última condição são: $\{0,1,2,3\}$.

Resposta: $4$ soluções: $\{0,1,2,3\}$.