Question

(UFRGS) Considere um sistema cartesiano ortogonal e o
ponto P(–3. 1) de intersecção das duas diagonais de um
losango. Se a equação da reta que contém uma das
diagonais do losango for y = 2x – 2, a equação da reta que
contém a outra diagonal será
a) x – 2y + 5 = 0
b) 2x – y + 7 = 0
c) x + 2y + 1 = 0
d) 2x + y + 7 = 0
e) x + y + 2 = 0

Answer 1

Bom dia

As diagonais de um losango são perpendiculares.

Queremos a equação da reta  (s) que seja perpendicular à reta  (r) →y=2x-2

 e que passe pelo ponto P(-3,1).

A equação de (s) tem a forma 

$y= (- \frac{1}{2} )x+b\quad\quad e \quad passa\quad por\quad P(-3,1)\Rightarrow \\ \\ 1=(- \frac{1}{2})*(-3)+b \Rightarrow 1= \frac{3}{2}+b \\ \\ b=1- \frac{3}{2} \Rightarrow \boxed{b=- \frac{1}{2} }$

logo a equação é 

$y=- \frac{1}{2}x- \frac{1}{2}\Rightarrow 2y=-x-1 \Rightarrow \boxed{x+2y+1=0}$

Resposta :  letra C

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Jeniifer, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) Pede-se a equação da reta da outra diagonal de um losango, sabendo-se que uma das diagonais desse losango tem equação igual a: y = 2x - 2 e que as duas diagonais se interceptam no ponto P(-3; 1).

ii) Veja como é simples: note que as diagonais de um losango são perpendiculares. E quando duas retas são perpendiculares, o produto entre os seus coeficientes angulares (m₁ e m₂) é igual a "-1".

iii) Veja que já temos que a equação da reta de uma das diagonais é esta:

y = 2x - 2 <--- Note que o coeficiente angular (m₁) desta reta é igual a "2", que é o coeficiente de "x" após isolado "y".

Então vamos multiplicar o coeficiente angular da reta da outra diagonal (m₂) pelo coeficiente angular da reta de uma das diagonais (m₁ = 2) e vamos igualar esse produto a "-1". Assim, teremos:

m₁*m₂ = -1 ---- substituindo-se m₁ por "2", teremos:
2*m₂ = - 1 --- isolando m₂ teremos:
m₂ = -1/2 <--- Este será o coeficiente angular da equação da reta da outra diagonal.

iv) Agora veja: quando já se conhece o coeficiente angular (m) de uma reta e um ponto por onde ela passa (x₀; y₀) , a equação dessa reta será dada assim:

y - y₀ = m*(x - x₀).

Portanto, tendo a relação acima como parâmetro, então a reta que tem coeficiente angular igual a"-1/2" (m₂ = -1/2) e que passa no ponto P(-3; 1), terá a sua equação encontrada assim:

y - 1 = (-1/2)*(x - (-3)) --- ou apenas:
y - 1 = (-1/2)*(x + 3) --- note que isto poderá ser escrito assim, o que é a mesma coisa:

y - 1 = -1*(x + 3)/2 ---- multiplicando-se em cruz,teremos;
2*(y - 1) = -1*(x + 3) ---- efetuando-se os produtos indicados nos 2 membros, iremos ficar assim:

2y - 2 = - x - 3 ---- passando todo o 2º membro para o 1º, ficaremos assim:
2y - 2 + x + 3 = 0 --- ordenando e reduzindo os termos semelhantes, temos:
x + 2y + 1 = 0 <--- Esta é a resposta. Opção "c". Ou seja, esta é a equação pedida da outra diagonal do losango da sua questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.