Question

Como desenvolver o sistema de equação? Não consegui fatorar...
$\left \{ {{2^x - 2^y = 24} \atop {x+y=8}} \right.$

Answer 1

Temos o seguinte:

$\left \{ {{2^x - 2^y=24} \atop {x+y=8}} \right.$

Na segunda equação temos:

$x+ y = 8 \therefore y = 8 -x$

Assim, substituindo na primeira equação:

$2^x - 2^y = 24 \\ \\ 2^x - 2^{8-x} = 24 \\ \\ 2^x - \frac{2^8}{2^x} = 24 \\ \\ (2^x)^2 - 2 ^8 = 24 \cdot 2^x \\ \\ (2^x)^2 - 24 \cdot 2^x - 256 = 0$

Supondo que $2^x = w$:

$(2^x)^2 - 24 \cdot 2^x - 256 = 0 \\ \\ w^2 - 24 w - 256 = 0 \\ \\ \Delta = 576 + 1024 = 1600 \\ \\ w = \frac{24 \pm \sqrt{1600} }{2} = \frac{24 \pm 40}{2} = 12 \pm 20 \\ \\ w' = 32 \\ w'' = -8$

Assim, como $2^x = w$:

$2^{x'}= 32 \therefore 2^{x'} = 2^5 \therefore x'= 5 \\ \\ 2^{x''} = -8 \therefore \text{Sem solu\c{c}\~ao}~ x'' \in \mathbb{R}$

Logo temos que $x=5$. Portanto:

$y = 8- x \\ \\ y = 8 - 5 \\ \\ y = 3$