Question

3) (2,0 pontos) Resolva a equação LaTeX: \text{log}_{3}(2x+5) = \text{log}_{9}(4x+1)^2log3(2x+5)=log9(4x+1)2



4) (2,0 pontos) Resolva a inequação LaTeX: (0,3)^{4x+7} \leq (0,3)^{6x-11}(0,3)4x+7≤(0,3)6x−11



5) (2,0 pontos) Para que valores de k a função LaTeX: f(x) = \text{log}_{(2k+4)}xf(x)=log(2k+4)x é decrescente?

Answer 1

Olá

Como o latex não funcionou, colocarei a resolução do jeito que eu entendi a partir do enunciado.

3) $log_{3}2x+5= log_{9}(4x+1)^{2}$

Para essa questão, vamos utilizar três propriedades de logaritmo:

1ª $log_{a}b^{c} = c.log_{a}b$
2ª $log_{a}b = log_{a}c$ → $b = c$
3ª $log_{a}b = \frac{log_{c}b}{log_{c}a}$

Então, utilizando a primeira propriedade, temos que $log_{9}(4x+1)^{2} = 2.log_{9}4x+1$

Utilizando a 3ª propriedade, temos que:
$log_{9}4x+1 = \frac{log_{3}4x+1}{log_{3}9}$

Como $log_{3}9 = 2$, então $log_{9}4x+1 = \frac{log_{3}4x+1}{2}$

Daí, temos que:

$log_{3}2x+5 = 2. \frac{log_{3}4x+1}{2}$
$log_{3}2x+5 = log_{3}4x+1$

Utilizando a segunda propriedade, temos que:
2x + 5 = 4x + 1
2x = 4
x = 2

4) $0,3^{4x+7} \leq 0,3^{6x-11}$

Como as bases são iguais, então resolveremos a inequação:
$4x+7 \leq 6x-11$
$4x-6x \leq -11-7$
$-2x \leq -18$
$2x \geq 18$
$x \geq 9$

4)$f(x) = log_{2k+4}x$

Para que essa função seja decrescente, teremos que ter a base entre 0 e 1, ou seja, 0 < 2k+4<1

Então, basta resolvermos essa inequação:
$-4 \ \textless \ 2k \ \textless \ -3$
$-2 \ \textless \ k \ \textless \ \frac{-3}{2}$