Question

ME AJUDEM AQUI! 
COM URGÊNCIA 
CALCULE 
A) i^329
B) i^105 

CALCULE O INTERVALO DOS SEGUINTES NUMEROS 
A) 4i
B) 1+i 

Answer 1

Uma coisa comum demais essas potências de i com números estrambóticos, mas nada pra se preocupar nem ficar com medo. Na verdade é bem fácil :D

a) $i^{329}=i^{328+1}=i.i^{4.81}=i.(i^{4})^{81}=i.1=i$

Fatorei 328 daquela forma porque i²=-1 e (-1)²=1, daí, pelas propriedades das potências, $i^{4}=1$. Quando tu encontrar i elevado a algum número enorme tu divide esse número por 4 e olha o resto. Listinha prática, olha:

$i^{4n}=1$
$i^{4n+1}=i$
$i^{4n+2}=-1$
$i^{4n+3}=-i$,
onde esse n é um número inteiro qualquer. Dito isso:

b) $i^{105}=i^{4.26+1}=i$

O inverso é um pouco complicado... o inverso de um número x é um número y de forma que x.y=1, ou seja, tu tem que calcular $\frac{1}{x}$

a) $\frac{1}{4i}= \frac{i}{4i.i}= \frac{-i}{4}$
b) $\frac{1}{1+i}= \frac{1-i}{(1+i)(1-i)}= \frac{1-i}{2}$

Divisão por complexo é chato... no item a) multipliquei o numerador e denominador por i e no item b) multipliquei o numerador e denominador pelo conjugado do denominador (tu tem um complexo a+bi; o conjugado dele é a-bi, onde esses a e b são números reais quaisquer)