Question

Sobre o grafico definido por s(x)= -x2 +4x -5 de r em r
Pfvr me ajudem

Answer 1

Caracterizar uma função do 2º grau $f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$,

onde $a$, $b$ e $c$ são números reais e $a \neq 0$:


Para esboçar o gráfico esta função, siga este passo a passo:


(1) Encontrar o ponto de interseção do gráfico com o eixo das ordenadas, ou eixo vertical $y$ (basta fazer $x=0$);

     $x=0 \Rightarrow f\left(0 \right )=c$
     
     A interseção com o eixo $y$ é o ponto $\left(0,\,c \right )$.


(2) Encontrar $x_{1}$ e $x_{2}$, que são as raízes (ou zeros) da função, caso existam, resolvendo a equação $ax^{2}+bx+c=0$;
      
     $\Delta=b^{2}-4ac\\ \\ x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$


      se $\Delta >0$, então a função possui duas raízes reais e distintas: $x_{1} \neq x_{2}$;

      se $\Delta=0$, então a função possui duas raízes reais e iguais: $x_{1}=x_{2}$;
   
     se $\Delta <0$, então a função não possui raízes reais.


(3) Encontrar o vértice ou ponto extremo (máximo ou mínimo) do gráfico:

     se $a>0$, então a função tem um valor mínimo, e o gráfico é uma parábola com concavidade para cima;
     
     se $a<0$, então a função tem um valor máximo, e o gráfico é uma parábola com concavidade para baixo.

     
     Para ambos os casos, as coordenadas do vértice são:
     
     $\begin{array}{rcl} x_{_{V}}=\dfrac{b}{2a}&\text{ ou }&x_{_{V}}=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\\ \\ y_{_{V}}=-\dfrac{\Delta}{4a}&\text{ ou }&y_{_{V}}=f\left(x_{_{V}} \right ) \end{array}$

    O vértice é o ponto $\left(x_{_{V}},\,y_{_{V}} \right )$.


Para a nossa questão temos

$s\left(x \right )=-x^{2}+4x-5$

onde $a=-1,\;\;b=4,\;\;c=-5$.


(1) A interseção com o eixo $y$ é o ponto $\left(0,\,c)=\left(0,\,-5)$


(2) Resolver a equação $-x^{2}+4x-5=0$ para encontrar as raízes:
     
     $\Delta=\left(4 \right )^{2}-4\cdot\left(-1 \right )\cdot \left(-5 \right )\\ \\ \Delta=16-20\\ \\ \Delta=-4 < 0$
     
     Como $\Delta<0$, então a função $s$ são tem raízes reais. Isto significa que ela não corta o eixo das abscissas (ou o eixo $x$).


(3) Encontrar as coordenadas do vértice:
  
     $a=-1<0$, então a função $s$ tem um máximo, e o gráfico é uma parábola com concavidade para baixo.
   
     $x_{_{V}}=-\dfrac{\left(4 \right )}{2\cdot \left(-1 \right )}\\ \\ x_{_{V}}=-\dfrac{4}{-2}\\ \\ x_{_{V}}=2\\ \\ \\ y_{_{V}}=-\dfrac{\left(-4 \right )}{4\cdot\left(-1 \right )}\\ \\ y_{_{V}}=-\dfrac{\left(-4 \right )}{-4}\\ \\ y_{_{V}}=-\dfrac{4}{4}\\ \\ y_{_{V}}=-1$


     O vértice (ponto máximo neste caso) é o ponto $\left(2,\,-1 \right )$.


O gráfico está em anexo.