Question

Os pontos de A ( 3m + 1,15 ) e B ( m,3 ) pertencem ao 2ª quadrante e a distancia entre eles é igual a 13. Qual é o valor de m?

Answer 1

Se os pontos $A\left(3m+1,\,15\right)$ e $B\left(m,\,3\right)$ são do 2º quadrante, devemos ter

$\left\{ \begin{array}{l} 3m+1<0\\ m<0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3m<-1\\ m<0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} m<-\dfrac{1}{3}\\ m<0 \end{array} \right.\\ \\ \Rightarrow \boxed{m<-\dfrac{1}{3}}$


A distância entre os pontos $A$ e $B$ é $13$. Então

$d_{_{AB}}=13\\ \\ \sqrt{\left(x_{_{B}}-x_{_{A}} \right )^{2}+\left(y_{_{B}}-y_{_{A}} \right )^{2}}=13\\ \\ \sqrt{\left(m-\left(3m+1 \right ) \right )^{2}+\left(3-15 \right )^{2}}=13\\ \\ \sqrt{\left(m-3m-1 \right )^{2}+\left(-12 \right )^{2}}=13\\ \\ \sqrt{\left(-2m-1 \right )^{2}+144}=13\\ \\ \left(\sqrt{\left(-2m-1 \right )^{2}+144} \right )^{2}=\left(13 \right )^{2}\\ \\ \left(-2m-1 \right )^{2}+144=169\\ \\ \left(-2m-1 \right )^{2}=169-144\\ \\ \left(-2m-1 \right )^{2}=25\\ \\ -2m-1=\pm\sqrt{25}\\ \\ -2m-1=\pm 5\\ \\ -2m=\pm 5 + 1\\ \\ m=\dfrac{\pm 5 + 1}{-2}\\ \\ \begin{array}{rcl} m=\dfrac{5+1}{-2}&\text{ ou }&m=\dfrac{-5+1}{-2}\\ \\ m=\dfrac{6}{-2}&\text{ ou }&m=\dfrac{-4}{-2}\\ \\ m=-3&\text{ ou }&m=2\text{\;\;\;(n\~{a}o serve)}\\ \\ \end{array}\\ \\ \boxed{m=-3}$