Question

Escreva a equação geral da circunferência com o centro no ponto 0 = (0,5) sabendo que a reta x-2y-10=0 é tangente a essa circunferencia

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Edisonrezende, que a resolução é simples. Só é um pouco trabalhosa.
Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para escrever a equação geral da circunferência que tem centro no ponto O(0; 5), sabendo-se que a reta de equação: x - 2y - 10 = 0 é tangente a essa circunferência.

ii) Veja: se a reta de equação: x - 2y - 10 = 0 é tangente a essa circunferência, então a distância do centro da circunferência, que tem coordenadas O(0; 5), a essa reta será igual ao raio dessa circunferência.

iii) Assim, vamos encontrar a distância do centro O(0; 5) à reta que é tangente a essa circunferência. Note que a equação da reta é esta:
x - 2y - 10 = 0.

Veja que a distância (d) de um ponto a uma reta é dada por:

d = |Ax₀ +By₀ + C| / √(A²+B²)

Na fórmula acima, os termos "A", "B" e "C" são os coeficientes da reta que é tangente à circunferência, enquanto x₀ e y₀ são as coordenadas do ponto.
Assim, considerando que a reta é: x - 2y - 10 = 0 e que o ponto do centro da circunferência é O(0; 5), então vamos ter que: A = 1 (é o coeficiente de "x" na reta); B = -2 (é o coeficiente de "y" na reta); c = - 10 (é o coeficiente do termo independente na reta); x₀ = 0 (é a abscissa do centro da circunferência); e y₀ = 5 (é a ordenada do centro da circunferência).
Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula acima, teremos:

d = |1*0 +2*(-10) - 10| / √(1²+(-2)²)
d = |0 - 10 - 10| / √(1+4)
d = |-20| / √(5) ---- como |-20| = 20, teremos:
d = 20 / √(5) --- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por √(5). Assim, ficaremos com:

d = 20*√(5) / √(5)*√(5)
d = 20√(5) / √(5*5)
d = 20√(5) / √(25) ----- como √(25) = 5, teremos:
d = 20√(5) / 5 ---- simplificando-se numerador e denominador por "5", iremos ficar apenas com:

d = 4√(5) <---- Este é o comprimento do raio da circunferência.

iv) Agora veja que a equação reduzida de uma circunferência que tenha centro em C(x₀; y₀) e raio = r, é encontrada assim:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r² .

Tendo, portanto, a relação acima como parâmetro, então a equação reduzida da circunferência que tem centro em O(0; 5) e que tem raio = 4√(5) será dada assim:

(x-0)² + (y-5)² = [4√(5)]² ----- desenvolvendo, teremos:
x² + y² - 10y + 25 = 16*5 ---- ou apenas:
x² + y² - 10y + 25 = 80 ---- passando "80" para o 1º membro, teremos:
x² + y² - 10y + 25 - 80 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
x² + y² - 10y - 55 = 0 <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a equação geral da circunferência da sua questão.

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas pra que você tenha uma ideia visual da circunferência e da reta que lhe é tangente, veja o gráfico delas duas no endereço abaixo (pois aqui no Brainly eu não sei construir gráficos). Veja lá e constate que realmente a reta dada é tangente à circunferência cuja equação foi a que acabamos de encontrar.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Bx%C2%B2%2By%C2%B2-10y-55+%3D+0,+x-2y-10+%3D+0%7D

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.